Question

Desde un punto del suelo, se observa la parte superior de una torre con un angulo de elevacion de 37 ,nos acercamos a la torre una distancia de 20 y el nuevo angulo de elevacion para el mismo punto es 45 .calcule la altura de la torre

Answer 1

La altura h de la torre es de 60 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.    

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde los triángulos de 37-53 y de 45-45 resultan ser lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura de la torre, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta la base de la torre -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador avanzó hacia la torre 20 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la línea visual hasta la parte superior de la torre vista con un ángulo de elevación de 37°

El ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura de la torre, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el observador -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta la base de la torre luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 20 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la línea visual hasta la cima de la torre vista con un ángulo de elevación de 45°

Donde se pide hallar:

La altura h de la torre

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del suelo hasta la base de la torre luego de haber avanzado desde el primer punto de observación 20 metros, alcanzando el segundo punto de ubicación

Y dónde la incógnita "h" será la altura de la torre

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la altura "h" de la torre el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta la torre son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación

En donde la altura "h" de la torre es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre

Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura de la torre emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita

Hallamos la distancia x

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (45^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \ . \ tan(45^o ) } }$

$\boxed {\bold {tan (37^o) = \frac{h}{x +20} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 20) \ . \ tan (37^o) } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(45^o)= (x + 20) \ . \ tan(37^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(45^o) = x \ . \ tan(37^o) +20 \ . \ tan(37^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(45^o) - x \ . \ tan(37^o) =20 \ . \ tan(37^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ ( tan(45^o) - \ tan(37^o) )=20\ . \ tan(37^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 20 \ . \ tan(37^o) }{ tan(45^o) - \ tan(37^o) } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es de }\bold{ \frac{3 }{4} }$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 20 \ . \ \frac{3 }{4} }{ 1 \ - \ \frac{3 }{4} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ \ \frac{60 }{4} }{ \frac{4}{4} - \ \frac{3 }{4} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{15}{\frac{1}{4} } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = 15 \ . \ \frac{4}{1} \ m }}$

$\boxed { \bold {x = 15 \ . \ 4 \ m }}$

$\large\boxed { \bold {x = 60 \ metros }}$

La distancia x es de 60 metros

Hallamos la altura h de la torre

En el segundo avistamiento el triángulo es notable y de 45°, luego los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la altura de la torre será igual que el valor de la distancia hallada de x

Comprobamos:

Hallamos el valor de h, reemplazando el valor hallado de x en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior

Si

$\large\boxed {\bold {h = x \ . \ tan(45^o)}}$

$\boxed {\bold {h = 60 \ m \ . \ 1 }}$

$\large\boxed {\bold {h = 60 \ metros }}$

La altura h de la torre es de 60 metros

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación