Ejercicio 4.- [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas dadas por las siguientes ecuaciones
x = y = z y
x = 1 + µ
y = 3 + µ
z = −µ
Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Septiembre 2015-2016, MATEMATICAS II
Respuestas
r : X = Y = Z
El vector director de r es:
Vdr = (1, 1, 1)
El punto que pertenece a la recta es:
A (0, 0, 0)
s : {x = 1 + µ; y = 3 + µ; z = -µ}
El vector director es:
Vds = (1, 1, -1)
El punto que pertenece a la recta es:
B (1, 3, 0)
Se verifica si las rectas son paralelas, esto ocurre cuando los directores de las rectas son paralelos.
(1, 1, 1) = β*(1, 1, -1)
β = 1 = 1 ≠ -1
Las rectas no son paralelas.
Se verifica si las rectas se interceptan.
Se igualan las coordenadas de los puntos en las rectas:
1 + µ = λ
3 + µ = λ
-µ = λ
Todas las ecuaciones son incompatibles, por lo tanto las rectas no se interceptan.
Se concluye que las rectas se cruzan.
Se crea el vector AB.
AB = B – A = (1, 3, 0) – (0, 0, 0) = (1, 3, 0)
Vdr x Vds = (1, 1, 1) x (1, 1, -1) = (-2, 2, 0)
|Vdr x Vds| = √(-2)^2 + (2)^2 + 0^2 =√8
Se encuentra el producto mixto entre Vdr, Vds y AB.
|1 3 0|
PM = |1 1 1| = 4
|1 1 -1|
La distancia entre las rectas es:
D = PM / |Vdr x Vds| = 4 / √8 = √2
La mínima distancia entre las rectas es √2.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 2015-2016 MATEMÁTICAS II.