Question

Una escalera de 32 pies de longitud está apoyada contra una pared vertical. La parte superior de la escalera está descendiendo con una rapidez de 1 pie/s. cuando su altura es de 30 pies. Determine que tan rápido se desliza la escalera horizontalmente alejándola de la pared.

Answer 1

Respuesta:

2.69 pies/s

Explicación paso a paso:

#UPN es la buena

Answer 2

83.5  pie/s  es la rapidez con que se desliza la escalera horizontalmente alejándola de la pared.

¿Qué es una razón de cambio?

Una  razón de cambio es el cambio que ocurre en una variable dependiente producto de las variaciones en la variable independiente, y se calcula por medio de la derivación.

Generalmente, las razones de cambio involucran variables implicitas, por ejemplo, el caso estudio involucra las razones de cambio de las longitudes en el triángulo con respecto al tiempo. El tiempo es la variable independiente y es implícita.

Del planteamiento se entiende que las distancias son variables y que lo hacen en función del tiempo; además sabemos que las podemos relacionar por medio del teorema de Pitagoras:

• x  =  distancia de la base de la escalera a la pared
• y  =  altura de la pared donde se apoya el extremo superior de la escalera

(Hipotenusa)² = (Cateto Opuesto)² + (Cateto Adyacente)²

En el caso que nos ocupa:

(32)²  =  (30)²  +  (x)²

¿A qué velocidad se está alejando la escalera de la base de la pared?

La razón de cambio de la distancia desde la pared en el tiempo no es más que la derivada implícita con respecto al tiempo t:

$\bold{\dfrac{d[(32)^2]}{dt}~=~\dfrac{d[(x)^2]}{dt} ~=~\dfrac{d[(y)^2]}{dt}\qquad\Rightarrow\qquad 0 ~=~2x\dfrac{dx}{dt} ~+~2y\dfrac{dy}{dt}\qquad\Rightarrow }$

$\bold{\dfrac{dx}{dt}~=~-(\dfrac{y}{x}) ~\dfrac{dy}{dt}}$

Vamos a calcular el valor de  x  para las condiciones dadas:

(32)²  =  (x)²  +  (30)²     ⇒     (x)²  =  (32)² - (30)²      ⇒      x  =  2√31  pies

Finalmente calculamos dx/dt sustituyendo los valores conocidos en la función derivada:

$\bold{\dfrac{dx}{dt}~=~-(\dfrac{30}{2\sqrt{31}}) ~(1)~=~ 15\sqrt{31}~\approx~83.5~\dfrac{pies}{s}}$

83.5  pie/s  es la rapidez con que se desliza la escalera horizontalmente alejándola de la pared.

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