Dado que f y g son continuas sobre [a, b] de modo que f(a) > g(a) y además f(b) < g(b) demuestre que hay un número c en (a,b) tal que f(c)= g(c).
Sugerencia: Considere la función f-g
Respuestas
Hola, aquí va la respuesta
Teorema de Bolzano
Sea f una función continua en [a,b], donde f(a) < 0 < f(b). Entonces existe un punto c ∈ (a,b) tal que f(c)= 0
Lo que nos dice este teorema es, si tenemos una función continua, en un intervalo [a,b], y esta "f" es negativa en "a" y positiva en "b". Entones debería existir algun punto entre "a" y "b" , donde "f" se haga cero
Lo usaremos para probar el ejercicio
Demostración
Sea h(x)= f(x) - g(x), debemos verificar las condiciones del Teorema de Bolzano.
Sabemos que f(x) y g(x) son continuas (por hipótesis), entonces la resta entre ambos es también continua, esto implica que h(x) sea una función continua
Por un lado tenemos que:
h(a)= f(a) - g(a)
Por hipótesis: f(a) > g(a) ⇔ f(a) - g(a) > 0
Entonces
h(a)= f(a) - g(a) > 0
Por otro lado
h(b)= f(b) - g(b)
Y por hipótesis f(b) < g(b) ⇔ f(b) - g(b) < 0
Entonces:
h(b)= f(b) - g(b) < 0
Como h(a) > 0 y h(b) < 0 (tienen el signo distinto) y además h(x) es continua, entonces por el teorema de Bolzano, va a existir un punto "c" ∈ (a,b) tal que:
h(c)= 0
Pero:
h(c)= f(c) - g(c) = 0
f(c) = g(c) Q.E.D
Saludoss