Question

Ayuda ...?!!!
Por favor. ..?!!!
Desarrollar paso a paso....

Answer 1

Para el primero...solo debes usar una identidad trignométrica,

$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1\\\sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x)\\\sin^{2}(x)=(1+\cos(x))(1-\cos(x))\\\\1-\cos(x)=\displaystyle\frac{\sin^{2}(x)}{1+\cos(x)}$

listo, y además sabemos que,  $\displaystyle\tan^{2}(x)=\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}$, entonces,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\tan^{2}(x)}{1-\cos(x)}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}}{\frac{\sin^{2}(x)}{1+\cos(x)}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1+\cos(x)}{\cos^{2}(x)}}=\frac{1+\cos(0)}{\cos^{2}(0)}=\frac{2}{1}=2$

para el siguiente, para el numerador podemos hacer algo parecido al ejercicio anterior...igual funciona para el ángulo (ax)...entonces,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{1-\cos(ax)}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\frac{\sin^{2}(ax)}{1+\cos(ax)}}{x^{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin^{2}(ax)}{1+\cos(ax)}}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=...\\\\\\\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin^{2}(ax)}{x^{2}}}\left(\frac{1}{1+\cos(ax)}\right)=\lim_{x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(ax)}{x}}\right)^{2}\left(\frac{1}{1+\cos(ax)}\right)$

bien, el propósito de hacer ésto..es que vamos a hacer uso de un límite muy útil y que debes saberlo, que es

 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\sin(ax)}{ax}}=1$

entonces, para usar ésto necesitamos agregar un número inteligente,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{\left(\frac{a^{2}}{a^{2}}\frac{\sin(ax)}{x}}\right)^{2}\left(\frac{1}{1+\cos(ax)}\right)=a^{2}\lim_{x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(ax)}{ax}}\right)^{2}\left(\frac{1}{1+\cos(ax)}\right)$

llisto, ahora, si usando las porpiedades de los límites podemos hacer lo siguiente,

$...=\displaystyle a^{2}\lim_{x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(ax)}{ax}}\right)^{2}\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{1+\cos(ax)}\right)= \\ \\ a^{2}(1)^{2}\left(\frac{1}{1+\cos(a(0))\right)}\\\\\\a^{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{a^{2}}{2}$

bien, eso fue fácil...

Bueno para el siguiente vas a tener que usar L`Hopital...no se me ocurre otro método, entonces vamos a derivar el numerador y el denominadr...sin(a)..se comporta como un número...entonces su derivada es cero...

entonces ya derivada tenemos,

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}{\frac{\cos(x)}{1}}=\cos(a)$

la derivacióne sun arma muy potente...pero no es bueno abusar del método...es mejor intentar hacerlo usando el ingenio..o teoremas que te sirva...por ejemplo el del sanduche...en fin...

Para los dos últimos intentalos hacer ¿quieres?...el que sigue puedes usar L`Hopital si quieres...deriva arriba y abajo..y encuentra el límites...y si no quieres usar ese camino...entonces...usa identidadades trignométricas así es más mejor como diría chavito :D...

y para el siguiente último, puedes usar el conjugado del numerador...y vas a tener que usar el límite del sanduche que ya lo usé antes...o deriva....intentalos hacer