Question

Se sabe que ⍺ y β son ángulos agudos. Si cosβ es igual a 3/5, calcula la csc⍺, donde ⍺ es el doble del complemento de β.
ayuda xfa

Answer 1

Respuesta:

$\csc( \alpha ) = \frac{25}{24}$

Explicación paso a paso:

Sabiendo que

${ \sin( \beta ) }^{2} + { \cos( \beta ) }^{2} = 1 \\ { \sin( \beta ) }^{2} = 1 - { \cos( \beta ) }^{2} \\ { \sin( \beta ) }^{2} = 1 - {( \frac{3}{5}) }^{2} \\ { \sin( \beta ) }^{2} = 1 - \frac{9}{25} \\ { \sin( \beta ) }^{2} = \frac{16}{25} \\ aplicando \: raiz \: cuadrada \: a \: ambos \: mienbros \\ \sin( \beta) = \frac{4}{5}$

Como alpha es el doble del complemento de beta, tendrá ésta forma

$\alpha = 2(90 - \beta )$

Haciendo la distributiva

$\alpha = 180 - 2 \beta$

Aplicando seno a ambos miembros tenemos

$\sin( \alpha) = \sin(180 - 2 \beta )$

Recordando que seno en el segundo cuadrante es positivo tenemos

$\sin( \alpha) = \sin(2 \beta )$

Ahora bien, como

$\csc( \alpha ) = \frac{1}{ \sin( \alpha ) } \: y \: \sin( \alpha ) = \sin(2 \beta ) \\ \csc( \alpha ) = \frac{1}{ \sin(2 \beta ) }$

Luego

$\sin( \beta ) = 2 \sin( \beta ) \cos( \beta )$

Entonces tenemos

$\csc( \alpha ) = \frac{1}{2 \sin( \beta ) \cos( \beta ) }$

Como

$\sin( \beta ) = \frac{4}{5} \: y \: \cos( \beta ) = \frac{3}{5}$

Entonces

$\csc( \alpha ) = \frac{1}{2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} } = \frac{1}{ \frac{24}{25} } = \frac{25}{24}$