Si los polinomios: A(x) y B(x) son idénticos: A(x)=5x3−3x2−4 B(x)=3ax3−6bx2−2x3 c 4x2 3 , Hallar: a b
Respuestas
Respuesta:
1.1. DEFINICIONES
Explicación:
1.1. DEFINICIONES
Definici´on 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda
expresi´on del tipo
p(x) = ∑∞
i=0
aix
i = a0 + a1x + a2x
2 + · · · + anx
n + · · · ; ai
, x ∈ K; n ∈ N ∪ {0}
donde todos los coeficientes ai son nulos, excepto una cantidad finita de ellos.
Notaci´on 1.1.1. Al conjunto de todos los polinomios en la indeterminada x con coeficientes en K lo denotamos K[x].
Definici´on 1.1.2. Sea
p(x) = ∑∞
i=0
aix
i ∈ K[x],
definimos el grado de p(x), denotado ∂(p(x)), como aquel m ∈ N ∪ {0} tal que am es el
´ultimo coeficiente no nulo.
Ejemplo 1.1.1.
1. Si p(x) = 2 + 3x − 5x
2
entonces ∂(p(x)) = 2.
2. Si p(x) = 2x entonces ∂(p(x)) = 1.
3. Si p(x) = 5 entonces ∂(p(x)) = 0.
4. El polinomio nulo no tiene grado.
Observaci´on 1.1.1.
1. Podemos escribir los polinomios en orden decreciente.
2. Para simplificar la notaci´on podemos escribir ∂(p) en lugar de ∂(p(x)).
1
2 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
1.2. SUMA Y MULTIPLICACION DE POLINOMIOS ´
Definici´on 1.2.1. Sean
p(x) = ∑∞
i=0
aix
i
, q(x) = ∑∞
i=0
bix
i ∈ K[x],
decimos que p(x) = q(x) si y s´olo si son id´enticos, es decir, p(x) = q(x) ⇔ ai = bi
, ∀ i.
Ejemplo 1.2.1. Sean p(x) = (a−b)x
4 + (c−1)x
3 + (d+c)x y q(x) = 7x
3 + (2d+b)x
2 −2x
dos polinomios definidos en los reales, determine a, b, c, d ∈ R para que p(x) = q(x).
Soluci´on. Se debe cumplir
a − b = 0
c − 1 = 7
d + c = −2
2d + b = 0
es decir, para a = 20, b = 20, c = 8, d = −10.
Definici´on 1.2.2. Sean
p(x) = ∑∞
i=0
aix
i
, q(x) = ∑∞
i=0
bix
i ∈ K[x],
entonces
1. p(x) + q(x) = d(x) = ∑∞
i=0
cix
i
tal que ci = ai + bi
, ∀ i.
2. p(x) · q(x) = e(x) = ∑∞
i=0
dix
i
tal que di =
∑
i
k=0
akbi−k.
Observaci´on 1.2.1. Se puede demostrar que
a) ∂(p + q) ≤ m´ax {∂(p), ∂(q)} si ∂(p + q) existe.
b) ∂(p · q) = ∂(p) + ∂(q).
Ejemplo 1.2.2. Sean p(x) = 4x
3 − 2x
2 + 3x, q(x) = 2x
2 + 5x − 2 ∈ R[x]. Si p(x)· q(x) =
r(x) = ∑∞
i=0 dix
i
, determine d2.
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