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Explicación paso a paso: Como Reconocer Un Triángulo Oblicuángulo:: Como Reconocer Un Triángulo Oblicuángulo: 1º PROPIEDAD En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo, siempre es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos. a B C
Diapositiva 3: 2º PROPIEDAD En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo obtuso, siempre es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos. bac Determinar si los triángulos siguientes son acutángulos u obtusángulos: ABC; AB = 3; BC = 5; AC = 6 MNP; MN = 5, NP = 7; MP = 8 RST; RS = 6; ST = 8; RT = 10
Diapositiva 4: PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO En el Triángulo Acutángulo: En el triángulo acutángulo, la proyección de un lado sobre otro esta contenido en este último.
Diapositiva 5: En el triángulo obtusángulo: En el triángulo obtusángulo, para encontrar la proyección de un lado sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se debe prolongar este último.
Diapositiva 6: TEOREMAS TEOREMA DE EUCLIDES TEOREMA 1 “En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel ”Si: α <90º
Diapositiva 7: TEOREMA 2 “En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel” Si α> 90º
Diapositiva 8: Ejemplo de aplicación Los lados de un triángulo ABC miden AB = 6; BC = 4; AC = 3 Calcular La proyección de BC sobre AB La proyección de AC sobre AB La proyección de BC sobre AC La proyección de AB sobre AC La proyección de AC sobre BC Si α> 90º Si: α <90º
Diapositiva 9: TEOREMA DE LA MEDIANA “En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana”. Así en la figura: “mC” es la mediana relativa al lado “c”. ab
Diapositiva 10: TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA En todo triángulo, se cumple lo: Si “x” es la siguiente proyección de la mediana CM, entonces
Diapositiva 11: OTROS TEOREMAS TEOREMA DE HERÓN
Diapositiva 12: TEOREMA DE STEWART x².c = a²m + b2n - cmn TEOREMA DE EULER m² + n² = a² + b² + c² + d² + 4x²
Diapositiva 13: PROBLEMAS DE APLICACIÓN Problema 01: Hallar “x” Teorema 1:72 = 62 + 52 -2.x.5 10x = 36 + 25 - 49 x = 12/10 x = 6/5
Diapositiva 14: Problema 02: Hallar “x” Teorema 2:62 = 32 + 42 + 2.x.4 8x = 36 - 9 - 16 x = 11/8
Diapositiva 15: Problema 03: Hallar “x” Teorema 1:52 = x2 + 62 -2.2.6 25 = x2 + 36 - 24 x2 = 25 - 12 x2 = 13 x = 13
Diapositiva 16: Problema 04: Hallar “x” Teorema 1: 122 = 102 + (6 + x) 2 -2 (6 + x) .6 144 = 100 + 36 + 12x + x2 - 12x -72 80 = x2 x = 4 5
Diapositiva 17: Problema 05: Hallar “x” Teorema 2:52 = 32 + x2 + 2.x.2 25 = 9 + x2 + 4x 0 = x2 + 4x - 16
Diapositiva 18: Problema 06: Hallar “x” Teorema 1:92 = 62 + 102 - 2.10.x 81 = 36+ 100 - 20x 20x = 136 - 81 20x = 55 x = 55/20 = 11/4
Diapositiva 19: Problema 07: Hallar “x” Teorema 2: 102 = 72 + 52 + 2.5.x 100 = 49 + 25 + 10x 10x = 26 x = 26/10 = 13/5
Diapositiva 20: Problema 08: Hallar “x” Teorema 2: (2 3) 2 = (3) 2 + 22 + 2. 3.x 2. 3.x = 5 x =
Diapositiva 21: Problema 09: Hallar “x” Teorema 2:62 = x2 + 12 + 2.1.2 36 = x2 + 5 x2 = 31 x = 31
Diapositiva 22: Problema 10: Hallar “x” Teorema Mediana: 32 + 82 = 2x2 + 102 2 9 + 64 = 2x2 + 50 23 = x2 2 46 = x 2
Diapositiva 23: Problema 11: Hallar “x” Teorema 1: (2 33) 2 = 102 + 162 - 2.x.16 132 = 100 + 256 - 32x 32x = 356 - 132 32x = 224 x = 7
Diapositiva 24: Problema 14: Calcular MN. Si ABCD es un trapecio AB = 13, BC = 6, CD = 15, AD = 20, BM = MC; AN = ND Teorema de la mediana: a2 + b2 = 2.MN2 + c2 2132 + 152 = 2.MN2 + 142 2169 + 225 = 2.MN2 + 98296 = 2.MN2 148 = MN2 MN = 2 37 13 3 3 15 20 3 3 7 7 15 13
Diapositiva 25: Problema 15: Calcular BD si, AB = 6, AC = 7, BC = 8; “BD” es bisectriz interior. Teorema de la Bisectriz: 6 7 8 DC = 4
Diapositiva 26: Problema 16: Calcular BD, si AB = 6, AD = 3, DC = 9, BC = 10 Teorema de STEWART 6 3 9 10 x2.12 = 102.3+ 62.9 - 12.3.9 12x2 = 300 + 324 - 324 x2 = 300 / 12 x2 = 25 x = 5 x
Diapositiva 27: Problema 17: Calcular la medida del lado de un rombo ABCD si AM = 9, MD = 13, siendo “M” punto medio de BC. Teorema de la Mediana 92 + 132 = 2a2 + a2 2 ABCDM 13 9 aaaa / 2 a / 2 81 + 169 = 4a2 + a2 2250 = 5a2 100 = a2 a = 10
Diapositiva 28: Problema 18: Los lados de un triángulo miden 13, 14, 15 ¿Cuánto mide la altura relativa al lado medio? Teorema de Heron p = 13 + 14 + 15 = 21 2 13 15 14 h = 2 21 (21-13) (21-14) (21-15) 14 h = 1 7056 7 h = 84/7 = 12 h
Diapositiva 29: Problema 19: En un triángulo ABC; AB = 3, BC = 5, AC = 6. Calcular la longitud de la proyección de AB sobre AC Teorema 2 62 = 32 + 52 + 2 (5) (m) ABC 3 5 6 36 = 9 + 25 + 10m 36 = 34 + 10 m 10 m = 2 m = 2/10 = 1/5 = 0,2 m.