Question

Dada la función implícita xseny=ay . Calcule el valor de la derivada dy/dx cuando la ordenada es igual a π2 . Considere el valor de a=13

Answer 1

La derivada de la función implícita cuando es $y=\frac{\pi}{2}$ es $\frac{1}{13}$.

Explicación:

Como la función es una expresión trascendente (la  variable 'y' no se puede despejar), tenemos que recurrir a la derivación implícita, tratando a 'y' como una función y derivando en ambos miembros. Como 'a' es una constante queda:

$1.sen(y)+x.cos(y).y'=a.y'$

Luego, para obtener la derivada de la función despejamos y':

$sen(y)=a.y'-x.cos(y).y'\\\\sen(y)=(a-x.cos(y)).y'\\\\y'=\frac{sen(y)}{a-x.cos(y)}$

De la expresión original podemos despejar la variable 'x':

$x.sen(y)=ay\\\\x=\frac{ay}{sen(y)}$

Y reemplazarla en la derivada que acabamos de hallar:

$y'=\frac{sen(y)}{a-\frac{ay}{sen(y)}.cos(y)}=\frac{sen(y)}{a-\frac{cos(y)}{sen(y)}.ay}$

Y el valor de la derivada con a=13 e $y=\frac{\pi}{2}$ es:

$y'=\frac{sen(\frac{\pi}{2})}{13-\frac{cos(\frac{\pi}{2})}{sen(\frac{\pi}{2})}.13.\frac{\pi}{2}}\\\\y'=\frac{1}{13}$