Question

Ejercicio 4.- Considera las rectas r y s dadas por
r ≡



x = 1 + 2λ
y = 1 − λ
z = 1
y s ≡

x + 2y = −1
z = −1
a) [1’5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuaci´on del plano que las contiene.
b) [1 punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado est´an en las rectas r y s, calcula su ´area.


Prueba de Selectividad Andalucia, Convocatoria Junio 2015-2016, Matematicas II

Answer 1

a)      Comprueba que ambas rectas son coplanarias y haya la ecuación del plano que las contiene.

 

Se determinan en primer lugar los vectores directores de las rectas r y s.

 

Para la recta r, su director son los coeficientes que acompañan a la variable λ.

 

Vdr = (2, -1, 0)

 

A (1, 1, 1)

 

Para la recta s, su director se consigue dando un valor λ a las variables X o Y.

 

Si X = λ.

 

X = λ

 

Y = (-λ – 1) / 2

 

Z = -1

 

Vds = (1, -1/2, 0)

 

B (0, -1/2, -1)

 

Se verifica la colinealidad entre los directores de las rectas:

 

Vdr = β*Vds

 

(2, -1, 0) = β*(1, -1/2, 0)

 

β = 2

 

Se comprueba que las rectas son proporcionales y por lo tanto coplanarias.

 

Ahora se determina un plano que contenga al vector director de r y s además de sus respectivos puntos.

 

Se determina el vector AB formado por los puntos de la recta y se aplica el producto vectorial con el director de cualquiera de las rectas.

 

AB = (0, -1/2, -1) – (1, 1, 1) = (-1, -3/2, -2)

 

Vdr x AB = (2, -1, 0) x (-1, -3/2, -2)

 

Vdr x AB = (2, 4, -4)

 

El producto vectorial es la normal del plano buscado.

 

π: 2X + 4Y – 4Z + D = 0

 

Si se sustituye el punto A se encuentra el valor de D.

 

2(1) + 4(1) – 4(1) + D = 0

 

D = -2

 

Finalmente la ecuación del plano es:

 

π: 2X + 4Y – 4Z – 2 = 0

 

b)      Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área.

 

Primero se calcula la distancia desde la recta s hasta el punto A, para ello es necesario determina un plano perpendicular a la recta s y que incluya al punto A.

 

π2: X – Y/2 + D = 0

 

Se sustituye el punto A.

 

1 – 1/2 + D = 0

 

D = -1/2

 

π2: X – Y/2 – 1/2 = 0

 

Se intercepta el plano encontrado con la recta s.

 

X – Y/2 – 1/2 = 0

 

X + 2Y + 1 = 0

 

Z = -1

 

Solución:

 

Z = -1

 

Y = -3/5

 

X = 1/5

 

El punto de intercepción es:

 

M (1/5, -3/5, -1)

 

Se determina el vector MA:

 

MA = (1, 1, 1) – (1/5, -3/5, -1) = (4/5, 8/5, 2)

 

La distancia de este vector es:

 

D = √(4/5)^2 + (8/5)^2 + (2)^2 = 6√5/5

 

Se eleva al cuadrado la distancia para determinar el área.

 

A = D^2 = (6√5/5)^2 = 36/5 u^2

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD ANDALUCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015-2016 MATEMÁTICAS II.