Question

alguien me puede ayudar?
determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie

Answer 1

Bueno, lo que yo haría es lo siugiente...

1) Usamos el criterio de la razón (salvavidas) entonces, debemos hallar,

 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|}=L\ \textless \ 1$

éste es únicamente el primer criterio..hay dos más, pero espero no tener que usarlos...éste criterio estoy diciendo "quiero que haya un intervalo"..pero si por mala suerte no funciona tendré que acudir a los dos extras criterios...bueno...veamos,

lo que único que hacemos el poner en el numerador...la serie n+1...donde veas la letra "n" pones "n+1" y en el denominador ponemos la serie tal y como nos dan,

 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{\frac{(n+1)!x^{n+1}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2(n+1)-1)}}{\frac{n!x^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}}\right|}=...\\\\\\\\=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{(n+1)!x^{n+1}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2(n+1)-1)}\textrm{x}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!x^{n}}\right|}$

hasta aquí nada nuevo ¿verdad?, solo he hecho medios con medios extremos con extremos...ahora sí, viene pensar un poquito más...debes aprender a manejar equivalencias..como por ejemplo...

$(n+1)!=n!(n+1)$

si verdad?...por ejemplo quieres n=4, entonces (4+1)!=4!(4+1) entonces te queda 5!=4!(5)=1x2x3x4x(5)=5!...además de las leyes de los exponentes,

 $x^{m+n}=x^{m}x^{n}$

enotnces usando todo ésto te queda, podemos simplficar,

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{[n!(n+1)]x^{n}x}{1\cdot3\cdot5\cdots(2(n+1)-1)}\textrm{x}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{n!x^{n}}\right|}=...\\\\\\\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{(n+1)x}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}\textrm{x}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{1}\right|}$

ahora vamos a intentar hacer algo con esas extrañas de ahí,

por ejemplo busquemos la multiplicación para n=5, usando la fórmula que está en el denomiandor,, entonces,

$1\cdot3\cdot5\cdots(2(5)+1)=1\cdot3\cdot5\cdots(11)=1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11$

nada exrtaño verdad...solo estoy tratando de buscar alguna semejanza entre ésta cosa y la cosa que está en el numerador...ahora, usemos la que está arriba en el numerador, igualmente para n=5, entonces

$1\cdot3\cdot5\cdots(2(5)-1)=1\cdot3\cdot5\cdots(9)=1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9$

y mira ...la primera serie que obtuvimos llega hasta 11, y la segunda llega hasta 9...MORALEJA...si simplificamos los términos semejantes..hasta el infinito...cual sobrevive??...es como que solo el 11 ¿verdad?...por que ese no se simplifica con nignuno del numerador...y ese 11 de donde lo sacamos??....fue de (2n+1) cierto?...(2(5)+1)=11...entonces el último término es que el siempre se salva...entonces ya podemos simplficar,

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{(n+1)x}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}\textrm{x}\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{1}\right|}=...\\\\\\\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{(n+1)x}{2n+1}\right|}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{(n+1)}{2n+1}\right|\left|x\right|}=\left|x\right|\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{n+1}{2n+1}\right|}$

ese límite ya es mucho más fácil...por ejemplo si dividimos el numerador y el denominador para "n", ees dceir,


$\displaystyle\left|x\right|\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{n+1}{2n+1}\right|}=\left|x\right|\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{2n+1}{n}}\right|}=\left|x\right|\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}\right|}$

y ese límite es aún más fácil, porque si denominador crece sin límites,, ese es cero...entonces,



$=\displaystyle\left|x\right|\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}\right|}=\left|x\right|\frac{1+\frac{1}{\infty}}{2+\frac{1}{\infty}}=\left|x\right|\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}\left|x\right|$

y como queríamos que la seríe converja completamente, entonces, tiene que ser estrictamente menor que 1, entonces,

$\displaystyle\frac{1}{2}\left|x\right|\textless1 \\ \\ \left|x\right|\textless2 \\ \\ -2\textless x\textless2$

entonces el radio de convergencia es 2...ahora para determinar el intervalo de convergencia, es decir para ver de que lado es cerrado y que lado abierto...solo hay que reemplazar en la sumatoria, para cada valor y hallar el límite de eso....,


Para x=-2

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n!(-2)^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n!(-1\cdot2)^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}}=...\\\\\\...=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{n!2^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}}$

para x=2,

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n!2^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}}$

y deberás calcular el límite de cada una...y verificar que si converge o no...entonces determinas si cierras o abres el intervalo de -2 o 2...y eso sería todo...

esa parte es un poco largo pero intuitivo...entonces te recomiendo que lo intentes hacer...la parte más fácil es lo que acabé de hacer...así que suerte¡..