Question

Problema A.1. Se dan las matrices A=[ 2 2 1 -3] y B = [2 -2 1 3] . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La matriz inversa de la matriz A . (2 puntos)
b) Las matrices X e Y de orden 2× 2 tales que XA = B y AY = B. (2 + 2 puntos)
c) Justificar razonadamente que si M es una matriz cuadrada tal que, 2 M = I donde I es la matriz identidad del mismo orden que M, entonces se verifica la igualdad. 3 7 M = M (4 puntos).

PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II

Answer 1

a)      La matriz inversa de la matriz A.

 

Se extiende la matriz A con una matriz identidad de 2x2.

 

(1  -3 | 1  0)

(2   2 | 0  1)

 

Se aplica la siguiente operación, F1 = F1 + 3F2/2.

 

(4   0 | 1  3/2)

(2   2 | 0    1  )

 

F1 = F1/4

 

(1   0 | 1/4  3/8)

(2   2 |   0      1  )

 

F2 = F2/2

 

(1   0 | 1/4  3/8)

(1   1 |   0    1/2)

 

F2 = F2 – F1

 

(1   0 | 1/4  3/8)

(0   1 |-1/4  1/8)

 

La matriz inversa de A es:

 

(1/4   3/8)

(-1/4  1/8)

 

b)      Las matrices X e Y de orden 2 x 2 tales que XA = B y AY = B

 

Se comienza por XA = B, se multiplica por la derecha la matriz inversa de A.

 

X*A*A^1 = B*A^-1

 

X = B*A^-1

 

X = (1  3)  * (1/4   3/8)

      (2 -2)     (-1/4  1/8)

 

X = (-1/2  3/4)

       (   1    1/2)

 

Para AY = B se multiplica por la izquierda la matriz inversa de A.

 

A^-1*A*Y = A^-1*B

 

Y = A^-1*B

 

Y = (1/4   3/8) * (1  3)

      (-1/4  1/8) * (2 -2)

 

Y = (1  0)

      (-1 0)

 

c)       Justificar razonadamente que si M es una matriz cuadrada tal que M^2 = I, donde I es la matriz identidad del mismo orden que M, entonces verifica la igualdad M^3 = M^7.

 

Se tiene que la igualdad es:

 

M^2 = M*M = I

 

M^3 = M*M*M = M*I = M

 

M^4 = M*M*M*M = I*I = I

 

M^5 = M*M*M*M*M = M*I*I = M

 

M^6 = M*M*M*M*M*M = I*I*I = I

 

M^7 = M*M*M*M*M*M*M = M*I*I*I = M

 

Como M^3 = M y M^7 = M, se concluye que M^3 = M^7.

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.