Question

Para los ingresantes a la facultad de ciencias de la
universidad de ingeniería se ha implementado tres
cursos complementarios de inglés, francés y alemán.
Ingles hay 24 inscritos, en francés 20 y en alemán 18.
Trece se han inscrito en más de un curso y 34 en un solo
curso. ¿Cuántos han decidido estudiar los tres idiomas?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4

Answer 1

Los que han decidido estudiar los tres idiomas es igual a 11 estudiantes.

Sean los conjuntos:

A: Inscritos en Inglés

B: Inscritos en Francés

C: Inscritos en Alemán

Tenemos que:

|A| = 24, |B| = 20 y |C|  = 18

Los que se inscrito en un solo curso: son: 34 y en más de un curso 13, entonces la unión de estos es el total:

|AUBUC| = 34 + 13 = 47

Un solo curso: |A| - |A∩B| - |A∩C|  + |B| - |A∩B| - |B∩C|  + |C| - |C∩B| - |A∩C| + 3|A∩B∩C| =

|A| + |B| + |C| - 2*(|A∩B|) - 2*( |B∩C| ) - 2*(|A∩C| ) + 3|A∩B∩C| = 34

Más de un curso:

|A∩B| + |A∩C| - |A∩B∩C| + |A∩B| + |B∩C| - |A∩B∩C| + |C∩B| + |A∩C| - |A∩B∩C|

=  2*(|A∩B|) + 2*( |B∩C| ) + 2*(|A∩C| ) - 3|A∩B∩C| = 13

Tenemos que:

1. |A| = 24
2. |B| = 20
3. |C|  = 18
4. |AUBUC| = 47
5. |A| + |B| + |C| - 2*(|A∩B|) - 2*( |B∩C| ) - 2*(|A∩C| ) + 3|A∩B∩C| = 34
6. 2*(|A∩B|) + 2*( |B∩C| ) + 2*(|A∩C| ) - 3|A∩B∩C| = 13

Sustituimos 1, 2 y 3 en 5

24 +20 + 18 - 2*(|A∩B|) - 2*( |B∩C| ) - 2*(|A∩C| ) + 3|A∩B∩C| = 34

- 2*(|A∩B|) - 2*( |B∩C| ) - 2*(|A∩C| ) + 3|A∩B∩C| = - 25

2*(|A∩B|)+ 2*( |B∩C| ) + 2*(|A∩C| ) - 3|A∩B∩C| = 25

2*(|A∩B|)+ 2*( |B∩C| ) + 2*(|A∩C| ) = 25 + - 3|A∩B∩C|

7.  |A∩B|+  |B∩C| + |A∩C|   = (25 + - 3|A∩B∩C|)/2

Ahora por teoría de conjuntos:

8. |AUBUC| = |A| + |B| + |C| + |A∩B|+  |B∩C| + |A∩C|  - |A∩B∩C|

Sustituimos en la ecuación 8 las ecuaciones 1, 2, 3, 4, y 7

47 = 24 + 20 + 18 +  (25 + - 3|A∩B∩C|)/2 -  |A∩B∩C|

47 = 62 + (25 + - 3|A∩B∩C|)/2 -  |A∩B∩C|

47 = 124/2  + (25 + - 3|A∩B∩C|)/2 -2|A∩B∩C|/2

47*2 = 124 + 25 + - 3|A∩B∩C| - 2|A∩B∩C|

94 = 149 - 5|A∩B∩C|

5|A∩B∩C| = 149 - 94 = 55

|A∩B∩C| = 55/5

|A∩B∩C| = 11