La suma de las raíces cuadradas de dos números positivos es 23, y el producto de dichos números es 15876. ¿Cuáles son los números?
Respuestas
Respuesta dada por:
1
X = Primer Numero
Y = Segundo Numero
√X + √Y = 23
(√X + √Y)² = 23²
(X + 2√(XY) + Y) = 529 (Ecuacion 1)
XY = 15876 (Ecuacion 2)
Puedo reemplazar el valor de XY = 15876 en la ecuacion 1.
(X + 2√(15876) + Y) = 529
X + 2(126) + Y = 529
X + Y = 529 - 252
X + Y = 277 (Ecuacion 3)
Y = 277 - X
Reemplazo el valor de Y en ecuacion 2.
X(277 - X) = 15876
277X - X² = 15876
0 = X² - 277X + 15876 (Ecuacion de segundo grado)
Donde: a = 1; b = -277; c = 15876
![X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} X=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}](https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm+%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D%7D%7B2a%7D)
![X=\frac{-(-277)\pm \sqrt{(-277)^2-4(1)(15876)}}{2(1)} X=\frac{-(-277)\pm \sqrt{(-277)^2-4(1)(15876)}}{2(1)}](https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B-%28-277%29%5Cpm+%5Csqrt%7B%28-277%29%5E2-4%281%29%2815876%29%7D%7D%7B2%281%29%7D)
![X=\frac{277\pm \sqrt{76729-63504}}{2} X=\frac{277\pm \sqrt{76729-63504}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B277%5Cpm+%5Csqrt%7B76729-63504%7D%7D%7B2%7D)
![X=\frac{277\pm \sqrt{13225}}{2} X=\frac{277\pm \sqrt{13225}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B277%5Cpm+%5Csqrt%7B13225%7D%7D%7B2%7D)
![X=\frac{277\pm \ 115}{2} X=\frac{277\pm \ 115}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=X%3D%5Cfrac%7B277%5Cpm+%5C+115%7D%7B2%7D)
X1 = [277 + 115]/2 = 392/2
X1 = 196
X2 = [277 - 115]/2 = 162/2
X2 = 81
Como ambas soluciones son positivas puedo usar cualquiera.
Tomemos X = 196
Y = 277 - 196
Y = 81
Los numeros son: X = 196, Y = 81
Probemos:
√(196) + √(81) = 14 + 9 = 23
(196)(81) = 15876
Cumple con las dos condiciones.
Rta: Los numeros son 196 y 81
Y = Segundo Numero
√X + √Y = 23
(√X + √Y)² = 23²
(X + 2√(XY) + Y) = 529 (Ecuacion 1)
XY = 15876 (Ecuacion 2)
Puedo reemplazar el valor de XY = 15876 en la ecuacion 1.
(X + 2√(15876) + Y) = 529
X + 2(126) + Y = 529
X + Y = 529 - 252
X + Y = 277 (Ecuacion 3)
Y = 277 - X
Reemplazo el valor de Y en ecuacion 2.
X(277 - X) = 15876
277X - X² = 15876
0 = X² - 277X + 15876 (Ecuacion de segundo grado)
Donde: a = 1; b = -277; c = 15876
X1 = [277 + 115]/2 = 392/2
X1 = 196
X2 = [277 - 115]/2 = 162/2
X2 = 81
Como ambas soluciones son positivas puedo usar cualquiera.
Tomemos X = 196
Y = 277 - 196
Y = 81
Los numeros son: X = 196, Y = 81
Probemos:
√(196) + √(81) = 14 + 9 = 23
(196)(81) = 15876
Cumple con las dos condiciones.
Rta: Los numeros son 196 y 81
kery8123:
de donde sale XY = 15876 (Ecuacion 2)
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