Question

Un avión vuela a 2000 m de altura a 432 Km/h. Cuando deja caer un proyectil, a) ¿Cuál es la distancia horizontal que avanzo el proyectil? b) ¿Con que velocidad llega antes de chocar con el suelo?​

Answer 1

a) El alcance horizontal del proyectil  $\bold { x_{MAX} }$ es de 2400 metros, siendo esta la distancia horizontal a la que este avanzó

b) La velocidad del proyectil antes de impactar el suelo es de 233.24 metros por segundo (m/s)

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

Convertimos la velocidad de kilómetros por hora a metros por segundo

Sabemos que en un kilómetro hay 1000 metros

Sabemos que en 1 hora hay 3600 segundos

Planteamos

$\boxed {\bold {432 \ \frac{\not km }{\not h} \ . \left(\frac{ 1000 \ m }{1 \not km} \right) \ . \ \left(\frac{ 1 \not h }{ 3600 \ s} \right) = \frac{432000}{3600} \ \frac{m}{s} = 120 \ \frac{m}{s} }}$

a) Determinamos la distancia horizontal recorrida por el proyectil

Primero calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Considerando la altura H desde donde ha sido lanzado $\bold {H= 2000 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 2000 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 4000 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{400 \ s^{2} } } }$

$\large\boxed {\bold { t = 20 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil es de 20 segundos

Hallamos la distancia horizontal recorrida

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =120 \ \frac{m}{\not s} \ . \ 20\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d = 2400 \ metros}}$

El alcance horizontal del proyectil  $\bold { x_{MAX} }$ es de 2400 metros, siendo esta la distancia horizontal a la que este avanzó

b) Hallamos la velocidad con la que llega el proyectil

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 20 segundos

Para el eje x - Eje horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =120 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - Eje vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 20 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-200\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad para el tiempo de vuelo se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(120 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-200 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{14400\ \frac{m^{2} }{s^{2} } +40000 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{54400 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 233.2380757 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 233.24 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad del proyectil antes de impactar el suelo es de 233.24 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento