Question

La empresa Cauchos y Cauchos Pereira dedicada a la comercialización y fabricación de empaques de cauchos para el sector automotriz dispone mensualmente de dos toneladas entre material de llanta reciclado y solvente químico distribuidos en el 87.5% de material de llanta reciclado y el resto del total de la materia prima disponible en solvente químico. Para la producción de un buje se requiere de 34 gr de material de llanta reciclado y 2 gr de solvente químico mientras para producir una manguera se requiere de 200 gr de material de llanta reciclado y 20 gr de solvente químico. Cuál debe ser la cantidad de bujes y mangueras que la empresa debe suministrar a los almacenes para obtener un beneficio máximo, si el precio fijado es de $3500 y $7800 respectivamente.

Answer 1

RESOLUCIÓN.

Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos:

1) Determinar las expresiones matemáticas necesarias para solucionar el problema.

En primer lugar se tiene la función que se desea maximizar, es decir la función del beneficio:

f(x, y) = 3500x + 7800y

Dónde:

x es la cantidad de bujes.

y es la cantidad de mangueras.

Ahora se procede con las restricciones del problema:

Ya que de 2 toneladas, el 87,5% es llanta reciclada y 12,5% es solvente químico, se tiene que la cantidad total es:

Llanta = 2000000*0,875 = 1750000 g

Solvente = 2000000*0,125 = 250000 g

Ahora las expresiones de las restricciones son:

34x + 200y ≤ 1750000    (Cantidad de bujes)

2x + 20y ≤ 250000        (Cantidad de mangueras)

Como se puede deducir la cantidad de bujes y mangueras no puede ser negativa, por lo tanto:

x ≥ 0

y ≥ 0

Finalmente se tiene un resumen de las expresiones matemáticas:

f(x, y) = 3500x + 7800y

34x + 200y ≤ 1750000

2x + 20y ≤ 250000 

x ≥ 0

y ≥ 0

2) Determinar los puntos de estudio para obtener la máxima contribución.

Para determinar los puntos de estudio hay que graficar todas las restricciones del problema e interceptarlas. En la imagen adjunta se encuentra la región solución.

La solución arroja dos puntos de estudio, que son los cortes de 
34x + 200y = 1750000, los cuales fueron llamados P1 y P2.

Para x = 0 se tiene que:

y =8750

Para y = 0 se tiene que:

x = 51470

Finalmente se tiene que los puntos son:

P1 (0, 8750)

P2 (51470, 0)

3) Determinar cual de los puntos arroja el valor máximo.

Se sustituye cada punto encontrado en la ecuación del beneficio:

Para P1:

3500(0) + 7800(8750) = 68250000

Para P2:

3500(51470) + 7800(0) = 180145000

E máximo beneficio total viene para el punto P2, eso quiere decir que se obtendrá la máxima utilidad si se fabrican 41470 bujes y ninguna manguera.