Question

La región limitada por la gráfica de y=x³, el eje x y
x=1/2 se gira alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral
del sólido resultante.
Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es

Answer 1

Bueno, solo debes reemplazar los valores que te piden, en la fórmula...como es una figura de revolución con respecto al eje equis, entonces, f(x)=r(x), entonces, primero, derivemos ,

 $f(x)=x^{3} \\ \displaystyle\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}$

entonces,

$S=\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}{2\pi(x^{3}\sqrt{1+(3x^{2})^{2}})}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{2\pi(x^{3}\sqrt{1+9x^{4}})}=... \\ \\ \\ ...=2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}$

podemos hacer una integración por sustitución, entonces,

$u=1+9x^{4}\\\displaystyle du=36x^{3}dx \\ \\ dx=\frac{du}{36x^{3}}$

entonces,

$\displaystyle2\pi\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^{3}\sqrt{u}\left(\frac{du}{36x^{3}}\right)=\frac{2\pi}{36}\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\sqrt{u}du=\frac{\pi}{18}\left(\frac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}\right|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{27}\left(u^{\frac{3}{2}}\right|_{0}^{\frac{1}{2}}$

finalmente tienes que,

$\displaystyle\frac{\pi}{27}\left[\left(1+9\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\right)^{\frac{3}{2}}-(1+9(0)^{4})^{\frac{3}{2}}\right]=1,07$

y eso sería todo