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1 El conjunto de los numeros ´ enteros
El conjunto de los numeros ´ enteros, que representamos como Z, es el conjunto formado por los numeros ´
0, ±1, ±2, ±3, . . .. El conjunto Z goza de una serie de propiedades que podemos dividir en aritm´eticas, a
partir de las operaciones de suma (+) y producto (·), y de orden, a partir de la relaci´on ≤.
Las propiedades aritm´eticas son las siguientes
P1.- a + b y a · b son elementos de Z.
P2.- ∀a, b ∈ Z, a + b = b + a y a · b = b · a.
P3.- ∀a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c),(a · b) · c = a · (b · c).
P4.- ∃ 0, 1 ∈ Z tal que ∀a ∈ Z, a + 0 = a, a · 1 = a.
P5.- ∀a, b, c ∈ Z, a · (b + c) = a · b + a · c.
P6.- ∀a ∈ Z ∃ − a ∈ Z unico ´ tal que a + (−a) = 0.
P7.- Si a 6= 0 y a · b = a · c =⇒ b = c.
A partir de las mismas pueden deducirse otras muchas propiedades que nos son familiares, como la
siguiente:
Ejemplo 1.- x · 0 = 0 para todo x ∈ Z.
x · (0 + 0) = x · 0, por la propiedad P4.
x · 0 + x · 0 = x · 0, por la propiedad P5.
−x · 0 + (x · 0 + x · 0) = −x · 0 + x · 0 = 0, por las propiedades P4 y P6.
(−x · 0 + x · 0) + x · 0 = 0 + x · 0 = x · 0 = 0, por las propiedades P2, P3, P4 y P6.
Las propiedades de orden son las siguientes
P8.- a ≤ a para todo a ∈ Z.
P9.- Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
P10.- Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.
P11.- Si a ≤ b, entonces a + x ≤ b + x para todo x ∈ Z.
P12.- Si a ≤ b y 0 ≤ c, entonces a · c ≤ b · c.
Como en el caso de las propiedades aritm´eticas, se pueden deducir otras muchas propiedades conocidas.
Ejemplo 2.- Si a ≤ b, entonces −b ≤ −a.
a ≤ b =⇒ a + (−a − b) ≤ b + (−a − b), por la propiedad P11.
Aplicando las propiedades aritm´eticas P2, P3, P4 y P6 resulta −b ≤ −a.
Estas 12 propiedades no s´olo las verifican los numeros ´ enteros. Tambi´en se cumplen para los numeros ´
racionales y reales. ¿Qu´e es, entonces, lo que diferencia a los numeros ´ enteros del resto de numeros? ´ La
diferencia radica en una propiedad que se conoce como principio o axioma del buen orden. Antes de
enunciarlo, un par de definiciones
Definici´on 1 Sea X ⊂ Z un subconjunto de numer ´ os enteros. Decimos que b ∈ Z es una cota inferior
de X si b ≤ x para todo x ∈ X. Entonces decimos que X es un conjunto acotado inferiormente.
Algunos conjuntos no tienen cotas inferiores, como el conjunto de los enteros negativos (Z
−
). Otros
conjuntos, como
{−18, −27, −26, −15, −5, 5, 15, 24, 19, 6, 98, −23, 0, 7}
s´ı tienen cotas inferiores. Por ejemplo −40 lo es. Sin embargo, vemos que −27 es la mejor cota inferior,
ya que no se puede mejorar y, de hecho, pertenece al conjunto.
Explicación paso a paso:
aquí están las repuestas a todo coronitas :D