Question

Determinar si el vector V = (12, -2 ) es una combinacion lineal de los vectores V1= (6,4) y V2= (8,2).

Answer 1

Respuesta: (12,-2)  = -2.(6,4)  +  3.(8,2).

Y así,  V  es una combinación lineal de los vectores  V1  y  V2.

Explicación: Para determinar si el vector V es combinación lineal de los vectores V1  y  V2, debemos encontrar escalares k1  y  k2, tales que:

V  = k1 . V1  +  k2 . V2

Entonces:

(12 , -2)  = k1.(6,4) + k2.(8,2)

Por tanto:

(12 , -2)  =  (6k1 , 4k1) + (8k2, 2k2)

(12 , -2)  = (6k1+8k2 , 4k1+2k2)

Al igualar las componentes correspondientes, resulta un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

6k1+8k2  = 12  ..........(1)

4k1+2k2  = -2 ...........(2)

Lo resolvemos por el método de eliminación:

Se multiplica (2) por -4. Luego se suma con la (1):

-16k1 - 8k2  = 8

 6k1  + 8k2 = 12

.....................................

-10k1   =   20

    k1  =  20/-10

    k1  = -2

Al sustituir este valor en la ecuación (1), resulta:

6.(-2)  +  8k2  =  12

-12   +  8k2  = 12

           8k2  = 12 + 12

           8k2  = 24

              k2 =  24/8

              k2 = 3

Por tanto, V = -2.V1  +  3. V2.  Es decir:

(12,-2)  = -2.(6,4)  +  3.(8,2)

Y así,  V  es una combinación lineal de los vectores  V1  y  V2.