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En álgebra, una función cuadrática, un polinomio cuadrático, o un polinomio de grado 2, es una función polinómica con una o más variables en la que el término de grado más alto es de segundo grado.
Un polinomio cuadrático con dos raíces reales (cruces del eje x), y por lo tanto, sin raíces complejas. Algunos otros polinomios cuadráticos tienen su mínimo por encima del eje x, en cuyo caso no posee raíces reales pero sí tiene dos raíces complejas
Una función cuadrática univariada (variable única) tiene la forma[1]
{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0}{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0}
En este caso la variable única es x. La gráfica de una función cuadrática univariada es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje y, como se muestra a la derecha.
Si la función cuadrática se establece igual a cero, entonces el resultado es una ecuación cuadrática. Las soluciones a la ecuación univariable se denominan raíces de la función univariable.
El caso bivariable en términos de las variables x e y tiene la forma
{\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!}{\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!}
con al menos uno de los coeficientes a, b o c no iguales a cero. Una ecuación que establece esta función igual a cero da lugar a una sección cónica (una circunferencia u otra elipse, una parábola o una hipérbola).
Una función cuadrática en tres variables x, y, y z contiene exclusivamente los términos x2, y2, z2, xy, xz, yz, x, y, z, y una constante:
{\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}{\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}
con al menos uno de los coeficientes a, b, c, d, e o f de los términos de segundo grado que no son cero.
En general, puede haber un número arbitrariamente grande de variables, en cuyo caso la superficie resultante se llama cuadrática, pero el término de grado más alto debe ser de grado 2, como x2, xy, yz, etc.