Question

Halle el vector paralelo al vector n=(9;-5;1) y cuya norma sea igual a la del vector m=(-2;-1;9).​

Answer 1

El vector     v     que es un vector paralelo al vector    n    y cuya norma es igual a la del vector      m        es:

$\bold{v~=~(9\sqrt{\dfrac{86}{107}};~-5\sqrt{\dfrac{86}{107}};~\sqrt{\dfrac{86}{107}})}$

Explicación paso a paso:

Vamos a construir una ecuación que nos permita conocer las componentes del vector problema, al que llamaremos    v.

Sabemos que    v    es un vector paralelo al vector    n    y que cuando dos vectores son paralelos son múltiplos escalares uno de otro; es decir, el vector    v    es igual a un escalar  k  multiplicado por el vector    n    y, por ende,    la longitud, módulo o norma del vector    v    es igual a la norma del vector    n    multiplicado por un escalar   k.

La norma de un vector        q  =  (a; b; c)    viene dada por:

$\bold{||~q~||~=~\sqrt{a^2~+~b^2~+~c^2}}$

También se sabe que la norma del vector    v    es igual a la norma del vector    m.

De aquí podemos afirmar que:

$\bold{||~m~||~=~k\cdot ||~n~||\qquad\Rightarrow\qquad ||~v~||~=~k\cdot ||~n~||}$

La ecuación que nos permite resolver el problema es:

$\bold{\sqrt{(-2)^2~+~(-1)^2~+~(9)^2}~=~k\cdot\sqrt{(9)^2~+~(-5)^2~+~(1)^2}\qquad\Rightarrow\qquad}$

$\bold{(-2)^2~+~(-1)^2~+~(9)^2~=~k^2\cdot[(9)^2~+~(-5)^2~+~(1)^2]\qquad\Rightarrow\qquad}$

$\bold{86~=~k^2\cdot(107)\qquad\Rightarrow\qquad k~=~\sqrt{\dfrac{86}{107}}}$

Finalmente, el vector    v    es igual al vector    n    multiplicado por el escalar    k:

$\bold{v~=~\sqrt{\dfrac{86}{107}}\cdot(9;~-5;~1)\qquad\Rightarrow\qquad v~=~(9\sqrt{\dfrac{86}{107}};~-5\sqrt{\dfrac{86}{107}};~\sqrt{\dfrac{86}{107}})}$

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