En un colegio todos los estudiantes tienen entre 11 y 15 a˜nos, inclusive, y el promedio de sus
edades es igual a 13. Todos los estudiantes se encontraban formando en el patio y al retirarse
todos los estudiantes de 11 a˜nos, el promedio de las edades de los estudiantes restantes subi´o
a 14, seguidamente se retiraron los estudiantes que ten´ıan 15 a˜nos y el promedio volvi´o a
ser 13. Finalmente, se retiraron los 60 estudiantes que quedaron. Encuentre la cantidad de
estudiantes que hay en el colegio.
Respuestas
El número total de estudiantes entre 11 y 15 años en el colegio es 180.
Explicación paso a paso:
El promedio o media aritmética se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre la cantidad de datos involucrados.
Con esta definición vamos a construir un sistema de ecuaciones que nos permita calcular la cantidad de estudiantes que hay en el colegio:
Llamamos x a la cantidad de estudiantes que hay en el colegio
El promedio de las edades (13) es la suma S de las edades de todos los estudiantes dividida entre el número de estudiantes x:
13 = S / x
El promedio aumenta a 14 años si se retiran todos los estudiantes de 11 años. Llamaremos y a este número.
14 = (S - 11y) / (x - y)
Finalmente se retiran los alumnos de 15 años, llamaremos z a este número, y el promedio vuelve a descender a 13 años. La cantidad de alumnos que queda es 60 en ese momento
13 = (S - 11y - 15z) / (x - y - z) con x - y - z = 60
Ordenamos el sistema de ecuaciones:
13 = S / x
14 = (S - 11y) / (x - y)
13 = (S - 11y - 15z) / (x - y - z)
x - y - z = 60
Eliminamos las fracciones
13x = S
14(x - y) = (S - 11y)
13(60) = (S - 11y - 15z)
x - y - z = 60
Aplicamos el método de sustitución, tomando el valor de S de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda y la tercera
14x - 14y = (13x) - 11y
780 = (13x) - 11y - 15z
x - y - z = 60
Despejamos x de la primera ecuación y sustituimos en las restantes
x = 3y
780 = 13(3y) - 11y - 15z
(3y) - y - z = 60
De aquí
28y - 15z = 780
2y - z = 60
Ahora por el método de reducción, multiplicamos la segunda ecuación por -15 y sumamos
28y - 15z = 780
-30y + 15z = -900
-2y = -120
y = 60 por lo que x = 3(60) = 180
El número total de estudiantes entre 11 y 15 años en el colegio es 180.
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