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2.1.5. El Binomio de Newton
Personaje COLBACHPara el desarrollo del binomio de Newton se pueden aplicar dos procedimientos, uno corresponde al llamado triángulo de Pascal y el otro a la propiamente denominada fórmula del binomio de Newton.
Primero haremos el cálculo de un binomio elevado a cualquier potencia mediante el triángulo de Pascal.
Como recordarás, hemos encontrado el producto notable de un binomio al cuadrado y el de un binomio al cubo mediante el modelo:
A fin de obtener el producto notable de un binomio (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ; (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 a la cuarta potencia y llegar así al modelo x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 uno de los caminos que podemos elegir es aplicar el producto notable de un binomio al cuadrado y la multiplicación de polinomios.
(x + y)4 = (x + y)2 (x + y)2 = (x2 + 2xy + y2) (x2 + 2xy + y2) = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4.
Dada la laboriosidad involucrada en el desarrollo para binomios con exponente mayor a 3, presentamos aquí los siguientes productos notables que podrán calcularse por simple inspección.
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
(x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7
(x + y)8 = x8 + 8x7y + 28x6y2 + 56x5y3 + 70x4y4 + 56x3y5 + 28x2y6 + 8xy7 + y8
Retomando las propiedades de las potencias, recordemos que:
(x + y)1 = 1x + 1y = x + y
(x + y)0 = 1
Si observamos la regularidad y simetría de los coeficientes del desarrollo de los binomios anteriores y los ordenamos en filas, podemos dibujar un triángulo llamado de Pascal. Éste fue descubierto por el físico-matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).
Triángulo de Pascal
Observando con atención, en este triángulo se puede descubrir que cada coeficiente se puede obtener sumando los dos que se encuentran arriba de este último.
Dibujemos la sección del triángulo de Pascal que corresponde a los productos notables que tienen exponente desde cero hasta tres.
Triángulo de Pascal
Ahora calculemos las dos siguientes filas que corresponden a los coeficientes de los binomios a la cuarta y quinta potencias.
Triángulo de Pascal
De esta forma observa que construyendo el triángulo de Pascal podemos calcular los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia entera de un binomio, siempre que se conozcan los coeficientes que corresponden al desarrollo de la potencia inmediata anterior de un binomio.
Con respecto de la parte literal, volviendo a las potencias de los binomios presentados anteriormente, tenemos lo siguiente:
Para los exponentes de los términos del desarrollo se observa que el primer elemento del binomio su exponente va disminuyendo una unidad de cada término que se agrega al desarrollo, mientras que en el segundo elemento del binomio se reduce su exponente también en una unidad en la misma forma.
Ejemplo
Vamos a desarrollar los siguientes binomios aplicando el triángulo de Pascal:
(3x - 1)4 = (3x)4 – 4(3x)3 (1) + 6(3x)2(1)2 – 4(3x)(1)3 + (1)4 = 81x4 – 108x3 + 54x2 – 12x + 1
(2a3 + 4b2)5 = (2a3)5 + 5(2a3)4 (4b2)1 + 10(2a3)3(4a2)2 + 10(2a3)2 (4b2)3 + 5 (2a3)(4b2)4 + (4b2)5
= 32a15 + 320a12b2 + 1280a9b4 + 2560a6b6 + 2560a3b8 + 1024b10
Ahora observa como se construye la fórmula del binomio de Newton y como se aplica al cálculo de binomios elevados a determinadas potencias.
El procedimiento para desarrollar el producto notable de un binomio elevado a cualquier potencia entera n se deduce como una fórmula general, observando la variación de los coeficientes y exponentes de sus términos y el número de éstos.
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = 1x + 1y
(x + y)2 = 1x2y0 + 2(1) x2-1y1 + 2(2-1) x2-2y2
1 2·1
(x + y)3 = 1x3y0 + 3(1) x3-1y1 + 3(3-1)(1) x3-2y2 + 3(3-1)(3-2) x3-3y3
1 2·1 3·2·1
.
.
.
(x + y)n = xn + n xn-1y1 + n(n-1) xn-2y2 + n(n-1)(n-2) xn-3y3 + ... + n(n-1)(n-2)(n-3) ... [n(n-1)]yn
1 2·1 3·2·1 n(n-1)(n-2)(n-3) ... 1
A este producto notable se le llama Binomio de Newton, y fue desarrollado por el físico inglés Isaac Newton (1642-1727).
De acuerdo con este binomio se aprecia que la obtención de cualquier término del desarrollo se encuentra con el siguiente procedimiento:
El coeficiente del primer y último término del desarrollo del binomio es uno.
El coeficiente de cualquier otro término se calcula multiplicando el exponente que tiene el primer elemento del binomio en el término anterior por su respectivo coeficiente y dividiendo el producto entre el número de términos anteriores.
El exponente del primer elemento del binomio coincide con el del mismo binomio en el primer término del desarrollo, y a partir del segundo término se va reduciendo en una unidad en cada término que se agrega al desarrollo.
El exponente del segundo elemento del binomio comienza con valor cero y se va incrementando en una unidad a partir del segundo término del desarrollo.