En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado por la función:
f(x) = -3x² + 72x +243
siendo x el número de días transcurridos desde que se detectó la enfermedad. Determinar: El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad. El número máximo de personas afectadas. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad. Justificar las respuestas.
Respuestas
Explicación paso a paso:
La enfermedad desaparece en aquel valor de d que anula la ecuación; es decir, en sus raices. El número máximo de personas afectadas corresponde a un máximo local de la función. En el caso planteado, la enfermedad desaparece a los 12 días y afecta, como máximo, a 27 personas.
Explicación paso a paso:
1.- El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
Este número corresponde a aquel valor de d que anula la función E.
-3d^{2} +72d+243=0−3d
2
+72d+243=0 ⇒ -3(d^{2} -24d-81)=0−3(d
2
−24d−81)=0 ⇒
-3(d-27)(d+3) = 0 ⇒ d = 27 ∨ d = -3
Por supuesto, el valor de interés es d = 27. Este es el número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
2.- El número máximo de personas afectadas.
Este número corresponde a aquel valor de E que se obtiene al evaluar la función en el valor extremo máximo relativo d.
-3d^{2} +72d+243=0−3d
2
+72d+243=0 ⇒ -3(d^{2} -24d-81)=0−3(d
2
−24d−81)=0 ⇒
-3(d-27)(d+3) = 0 ⇒ d = 27 ∨ d = -3
Por supuesto, el valor de interés es d = 27. Este es el número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de E.
E'=-6d +72E
′
=−6d+72
E' = 0 ⇒ -6d +72=0−6d+72=0 ⇒ d = 12
d = 12 es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
E'' = -6
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
E''_{(12)} < 0E
(12)
′′
<0 ⇒ d = 12 es un máximo de la función E.
Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de d y obtenemos el valor máximo de E; es decir, el número máximo de personas afectadas.
E_{(12)}=27E
(12)
=27
3.- Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son aquellos intervalos, pertenecientes al dominio de la función, en los cuales la gráfica sube o baja, respectivamente; y se obtienen al realizar un estudio de signo del comportamiento de la función derivada, dividiendo su dominio en intervalos a partir de los puntos críticos.
En el caso estudiado, solo se tiene un punto crítico y, por ende, dos intervalos a revisar el comportamiento de la derivada:
Intervalo d ∈ (-∞, 12)
Al evaluar la función derivada en cualquier valor de d perteneciente a este intervalo, se obtiene un valor positivo.
Se concluye que la función E es creciente en el intervalo d ∈ (-∞, 12).
Intervalo d ∈ (12, +∞)
Al evaluar la función derivada en cualquier valor de d perteneciente a este intervalo, se obtiene un valor negativo.
Se concluye que la función E es decreciente en el intervalo d ∈ (12, +∞).
Respuesta:
La enfermedad desaparece en aquel valor de d que anula la ecuación; es decir, en sus raices. El número máximo de personas afectadas corresponde a un máximo local de la función. En el caso planteado, la enfermedad desaparece a los 12 días y afecta, como máximo, a 27 personas.
Explicación paso a paso:
1.- El número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
Este número corresponde a aquel valor de d que anula la función E.
⇒ ⇒
-3(d-27)(d+3) = 0 ⇒ d = 27 ∨ d = -3
Por supuesto, el valor de interés es d = 27. Este es el número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
2.- El número máximo de personas afectadas.
Este número corresponde a aquel valor de E que se obtiene al evaluar la función en el valor extremo máximo relativo d.
⇒ ⇒
-3(d-27)(d+3) = 0 ⇒ d = 27 ∨ d = -3
Por supuesto, el valor de interés es d = 27. Este es el número de días que han de transcurrir hasta que desaparezca la enfermedad.
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de E.
E' = 0 ⇒ ⇒ d = 12
d = 12 es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
E'' = -6
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
⇒ d = 12 es un máximo de la función E.
Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de d y obtenemos el valor máximo de E; es decir, el número máximo de personas afectadas.
3.- Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la enfermedad.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son aquellos intervalos, pertenecientes al dominio de la función, en los cuales la gráfica sube o baja, respectivamente; y se obtienen al realizar un estudio de signo del comportamiento de la función derivada, dividiendo su dominio en intervalos a partir de los puntos críticos.
En el caso estudiado, solo se tiene un punto crítico y, por ende, dos intervalos a revisar el comportamiento de la derivada:
Intervalo d ∈ (-∞, 12)
Al evaluar la función derivada en cualquier valor de d perteneciente a este intervalo, se obtiene un valor positivo.
Se concluye que la función E es creciente en el intervalo d ∈ (-∞, 12).
Intervalo d ∈ (12, +∞)
Al evaluar la función derivada en cualquier valor de d perteneciente a este intervalo, se obtiene un valor negativo.
Se concluye que la función E es decreciente en el intervalo d ∈ (12, +∞).
Explicación paso a paso:
coronita gracias