Question

La posición de una partícula es r ⃗=[(3t^3-2t)i-(4t^(1⁄2)+t)j+(3t^2-2)k]m, donde t está en segundos, determine la magnitud de la velocidad y aceleración de la partícula cuando t=2 seg.

Answer 1

En el instante t=2s, la velocidad de la partícula es de 36,1 metros por segundo y su aceleración es de 36,5 metros por segundo cuadrado.

Explicación:

La velocidad de la partícula en función del tiempo es la derivada temporal de la posición de ella, por lo que queda;

$v(t)=\frac{dx}{dt}i+\frac{dy}{dt}j+\frac{dz}{dt}k\\\\v(t)=(9t^2-2)i+(\frac{1}{2}.4t^{\frac{1}{2}-1}+1)j+(6t)k\\\\v(t)=(9t^2-2)i+(2t^{-\frac{1}{2}}+1)j+(6t)k$

La velocidad en el instante t=2s es entonces:

$v(t)=(9.2^2-2)i+(2.2^{-\frac{1}{2}}+1)j+(6.2)k=34i+(\sqrt{2}+1)j+12k\\\\|v|=\sqrt{34^2+(\sqrt{2}+1)^2+12^2}=36,1\frac{m}{s}$

La aceleración de la partícula la obtenemos hallando la derivada temporal de la velocidad:

$a(t)=(18t)i+(-\frac{1}{2}.2t^{-\frac{1}{2}-1})j+(6)k\\\\a(t)=(18t)i+(-t^{-\frac{3}{2}})j+(6)k$

La aceleración en el instante t=2s es entonces:

$a(2)=(18.2)i+(-2^{-\frac{3}{2}})j+(6)k=36i-(2^{-\frac{3}{2}})j+6k\\\\|a|=\sqrt{36^2+(2^{-\frac{3}{2}})^2+6^2}\\\\|a|=36,5\frac{m}{s^2}$