Question

INSTRUCCIONES: Comprobar los siguientes límites
1.
lim
h→0
√x+h−√x
h
=
1
2√x

2. lim
x→0
sin 3x
x
= 3

3.
lim
θ→0
√1+sin θ−√1−tan θ
sin 2θ

=

Answer 1

El primer límite tiene como resultado $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, el segundo límite es 3 y el tercer límite es $\frac{1}{2}$.

Explicación paso a paso:

En el primer límite podemos multiplicar y dividir la expresión por el conjugado del numerador para tener una diferencia de cuadrados:

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})}\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h}^2-\sqrt{x}^2)}{h(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})}\\\\ \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})}=\lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

En el segundo límite podemos multiplicar y dividir por 3 para aplicar la propiedad $\lim_{x \to 0} \frac{sen(f(x))}{f(x)}=1$ y queda:

$\lim_{x \to 0} \frac{sen(3x)}{x}= \lim_{x \to 0} \frac{3.sen(3x)}{3x}\\\\\lim_{x \to 0} \frac{sen(3x)}{3x}=1=>\lim_{x \to 0} \frac{3.sen(3x)}{3x}=3.1=3$

En el tercer límite vamos a multiplicar y dividir por el conjugado del numerador:

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}-\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})}\\\\\lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}-\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)}= \lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}^2-\sqrt{1-tan(\theta)}^2}{sen(2\theta)(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})}$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}-\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)}= \lim_{\theta \to 0} \frac{1+sen(\theta)-1+tan(\theta)}{sen(2\theta)(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})}\\\\\lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}-\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)}= \lim_{\theta \to 0} \frac{sen(\theta)+tan(\theta)}{sen(2\theta)(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})}$

Aplicando identidades trigonométricas queda:

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}-\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)}=\lim_{\theta \to 0} \frac{sen(\theta)+\frac{sen(\theta)}{cos(\theta)}}{(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})2.sen(\theta).cos(\theta)}\\\\\lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}-\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)}=\lim_{\theta \to 0} \frac{cos(\theta)sen(\theta)+sen(\theta)}{(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})2.sen(\theta).cos(\theta).cos(\theta)}$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}-\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)}=\lim_{\theta \to 0} \frac{cos(\theta)sen(\theta)}{(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})2.sen(\theta).cos^2(\theta)}+\\\\+\lim_{\theta \to 0} \frac{sen(\theta)}{(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})2.sen(\theta).cos^2(\theta)}$

Simplificando queda:

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sqrt{1+sen(\theta)}-\sqrt{1-tan(\theta)}}{sen(2\theta)}=\lim_{\theta \to 0} \frac{1}{(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})2.cos(\theta)}+\\\\+\lim_{\theta \to 0} \frac{1}{(\sqrt{1+sen(\theta)}+\sqrt{1-tan(\theta)})2.cos^2(\theta)}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$