La suma de tres números enteros positivos consecutivos es una potencia de 3
La suma de los siguientes tres números enteros positivosconsecutivos es un múltiplo de 7.
Determinar el menor valor que puede tener la suma de los seis números consecutivos considerados.
Respuestas
Segunda pregunta: 6 + 7 + 8 = 21 ya que 21 es multiplo de 7
Tercera pregunta: 2 + 3+ 4 + 6+ 7 +8 = 30
Respuesta: 495
Explicación paso a paso:
Como nos dicen que la suma de tres enteros positivos consecutivos es una potencia de 3 es decir 3ˣ vamos a elegir convenientemente los tres números: n-1, n, n+1
Su suma entonces será n-1+n+n+1 = 3·n = 3ˣ
entonces n= 3ˣ/3 = 3ˣ⁻¹ n será potencia de 3
Y los siguientes 3 números enteros consecutivos a estos serán:
n+2, n+3, n+4
Su suma entonces será n+2+n+3+n+4 = 3·n + 9
Nos dicen que la suma es múltiplo de 7 entonces 3·n + 9 = 0(mod7)
Tenemos que hallar el primer n que cumple estas 2 condiciones
Damos valores a x
x= 1, n= 3¹⁻¹ = 3° = 1 → 3·1+9 = 12 = 5(mod7) ≠ 0(mod7)
x= 2, n= 3²⁻¹ = 3¹ = 3 → 3·3+9 = 18 = 4(mod7) ≠ 0(mod7)
x= 3, n= 3³⁻¹ = 3² = 9 → 3·9+9 = 36 = 1(mod7) ≠ 0(mod7)
x= 4, n= 3⁴⁻¹ = 3³ = 27 → 3·27+9 = 90 = 6(mod7) ≠ 0(mod7)
x= 5, n= 3⁵⁻¹ = 3⁴ = 81 → 3·81+9 = 252 = 0(mod7) es múltiplo de 7
Verificación
Entonces para n=81 se cumplen las dos condiciones pedidas
n-1+n+n+1 = 81-1+81+81+1 = 3·81 = 243 = 3⁵ es una potencia de 3
n+2+n+3+n+4= 81+2+81+3+81+4= 3·81+9= 252= 0(mod7) es múltiplo de 7
Los números son 80,81,82,83,84,85
Y la suma de estos 6 números consecutivos es 243+252 = 495
Respuesta: 495