Question

Un joven patea hacia el arco con una velocidad de 20 m/s. CALCULA:
A) el alcance para un ángulo de tiro de 60°
B) el tiempo que el balón permanece en el aire.

AYUDENMEEE

Answer 1

a) El alcance del balón es de 34.64 metros

b) El tiempo de vuelo del balón es de 3.46 segundos

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

A) Hallamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 60 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (120 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 200\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 200\ \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ \not10 \ . \ 20\ \ . \ \sqrt{3} }{ \not10 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =20\sqrt{3} \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =34.64101\ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =34.64 \ metros }}$

El alcance horizontal $\bold{x_{MAX} }$ del balón es de 34.64 metros

B) Hallamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (20 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 20\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{\not2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 20\sqrt{3} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not10 \ . \ \ 2\sqrt{3} }{\not10 } \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =2\sqrt{3} \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.46 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del balón es de 3.46 segundos

Aunque el enunciado no lo pida:

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1200}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{300 }{20 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 15\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 15 metros