Question

ayuda por favor.

sabiendo que la derivada de f(x) es f'(x)=(x-1)(x+1) y que f(-1)=2 determinar cual es la f(x)

Answer 1

La función f(x) es $f(x)=\frac{x^3}{3}-x+\frac{4}{3}$

Explicación paso a paso:

La inversa de la derivación es la integración, en el caso de esta función podemos comenzar resolviendo el producto entre los dos binomios:

$(x-1)(x+1)=x^2+x-x-1=x^2-1$

La integración indefinida nos va a dar una familia de primitivas, diferenciadas entre ellas por una constante:

$\int\limits^a_b {x^2-1} \, dx =\frac{x^3}{3}-x+C, ~C\in R$

Si es f(-1)=2, podemos individualizar una primitiva hallando el valor de la constante de integración:

$f(-1)=2\\\\2=\frac{(-1)^3}{3}-(-1)+C\\\\2=-\frac{1}{3}+1+C\\\\2=\frac{2}{3}+C\\\\C=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$

Entonces, la función es $f(x)=\frac{x^3}{3}-x+\frac{4}{3}$