Respuestas
Hola, aquí va la respuesta
Igualdad de Conjuntos
Recordemos lo siguiente:
A=B ⇔ A ⊆ B y B ⊆ A
A su vez definimos la inclusión de 2 conjuntos de la siguiente manera:
A ⊆ B si ∀x , x ∈ A ⇒ x ∈ B
Es decir, si "x" es un elemento de A, automáticamente será elemento de B
Para este ejercicio usaremos 2 definiciones y una propiedad
Unión de Conjuntos
Sean A,B subconjuntos de un conjunto referencial U, entonces:
A U B= { x ∈ U : x ∈ A v x ∈ B}
Producto cartesiano
Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B es un conjunto conformado por pares ordenados, es decir:
A x B= {(a,b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
Ley distributiva de la conjunción
Si p, q y r son proposiciones cualesquiera, entonces:
r ∧ (p v q) ≡ (r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
( A U B) x C = (A x C) U (B x C)
Demostración
Por definición, deberemos probar las 2 inclusiones:
- ( A U B) x C ⊆ (A x C) U (B x C)
Sea x ∈ [(A U B) x C] , por definición del producto cartesiano:
x ∈ (A U B) ∧ x ∈ C , Usando la definición de unión:
x ∈ [( a ∈ A v b ∈ B)] ∧ x ∈ C
Ahora usaremos la ley distributiva mencionada anteriormente, nos queda:
x ∈ ( a ∈ A ∧ c ∈ C) v x ∈ (b ∈ B ∧ c ∈ C)
Luego por definición de producto cartesiano
x ∈ (A x C) v x ∈ (B x C) , finalmente por definición de unión:
x ∈ [ (A x C) U (B x C)]
- (A x C) U (B x C) ⊆ (A U B) x C
Sea y ∈ [ (A x C) U (B x C)]. Por definición de producto cartesiano y de unión:
y ∈ ( a ∈ A ∧ c ∈ C) ∨ y ∈ ( b ∈ B ∧ c ∈ C)
Nuevamente usando la ley distributiva, nos quedará que:
y ∈ C ∧ y ∈ (a ∈ A v b ∈ B) , esto equivale a:
y ∈ C ∧ y ∈ (A U B) ⇔
y ∈ [C x (A U B)]
Habiendo demostrado ambas inclusiones, se cumple la igualdad
Saludoss