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2. Funciones
2.1. Definición de función
Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada
relación.
Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones.
La definición de función se dá enseguida.
Función:
Una función es una regla de
correspondencia entre dos conjuntos de tal
manera que a cada elemento del primer
conjunto le corresponde uno y sólo un
elemento del segundo conjunto.
Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.
Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio
o imágen.
Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La
entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la
función y la salida sería el contradominio.
Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.
Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con
una letra, digamos x o s, o cualquier otra.
Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x) ó f(s).
Ejemplo: f(x) = x2+ 3x - 6
Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada
número en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número mas el
triple de ese número menos seis".
Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera:
f ( ) = ( )2
+ 3( ) - 6
Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir, se
muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada".
f(x) = x2 + 3x - 6
f(10) = 124
f(-2) = -8
El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la
función.
Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es
el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una función
definida por una ecuación, por ejemplo,
G(x) = 3x3 - 2x + 10
(Sin especificar el dominio)
En adelante quedará entendido que:
A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una función será
el conjunto más grande de números reales para los cuales la función nos dé
como salida un número real.
Por ejemplo:
1
f(x) =
x - 3
Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho
valor en la función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede dividir
entre cero. Observa además que la función no puede tomar el valor cero.
¿Porqué? Observa la gráfica.
2.2. Representación de funciones
Gráfica de una fución
La gráfica de una función está formada por el conjunto
de puntos (x, y) cuando x varía en el dominio D.
gráfica (f) = {(x, f(x)) / x D}
Para representarla calcularemos aquellos puntos o
intervalos donde la función tiene un comportamiento especial,
que determinaremos mediante el estudio de los siguientes
apartados:
1. Dom i ni o de una f unci ón.
2. Si m etr í a.
3. Per i odi ci dad.
4. Punt os de cor t e con l os ej es.
5. Así nt ot a s.
6. Ram as par aból i ca s .
7. Cr eci m i ent o y Decr eci m i ent o.
8. M áxi m os y m í ni m o s.
9. Concavi dad y c onv exi dad.
10. Punt os de i nf l exi ó n.
Clasificación de funciones por su naturaleza; algebraicas y trascendentales
Funciones algebraica
Ya se analizó el concepto de función y sus elementos; ahora estudiaremos
un grupo de funciones llamadas algebraicas, en particular un conjunto de ellas que
denominaremos funciones polinomiales.
Las funciones polinomiales tienen una gran aplicación en la elaboración de
modelos que describen fenómenos reales. Algunos de ellos son: la concentración
de una sustancia en un compuesto, la distancia recorrida por un móvil a velocidad
constante, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario
de un trabajador más su comisión, la variación de la altura de un proyectil, entre
otros.
Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene
combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por me