En un estudio sobre la aprobación de tres asignaturas A, B y C realizado a los estudiantes de cierta carrera arrojó los siguientes resultados:
• 140 aprobaron Álgebra.
• 125 aprobaron Física.
• 155 aprobaron Cálculo.
• 270 aprobaron al menos una asignatura.
• 150 no aprobaron Álgebra.
• 45 aprobaron sólo Física.
• 50 aprobaron sólo Álgebra.
• 55 aprobaron sólo cálculo.
• 90 aprobaron sólo dos asignaturas.
Utilizando un diagrama de Venn - Euler responda:
a) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron ninguna asignatura?
b) ¿Cuántos estudiantes aprobaron las tres asignaturas?
c) ¿Cuántos estudiantes aprobaron Álgebra o Física pero no Cálculo?
Respuestas
Del total de estudiantes tenemos que los que no aprueban ninguna asignatura son: 20 estudiantes y los que aprueban las tres son 30
Sean los conjuntos:
A: aprobaron Algebra
B: aprobaron Física
C: aprobaron Cálculo
Tenemos que:
1. |A| = 140
2. |B| = 125
3. |C| = 155
4. |AUBUC| = 270
|A'| = 150
5. |B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 45
6. |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| = 50
7. |C| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 55
Solo Algebra y física: |A∩B| - |A∩B∩C|
Solo Algebra y cálculo: |A∩C| - |A∩B∩C|
Solo física y cálculo: |B∩C| - |A∩B∩C|
Solo dos: 8. |A∩B| + |A∩C| + |B∩C| - 3|A∩B∩C| = 90
No aprueban ninguna: el total de estudiantes es los que aprueban álgebra más los que no aprueban:
Total = |A| + |A'| = 140 + 150 = 290
Los que no aprueban ninguna, es el total menos los que aprueban al menos una:
total - |AUBUC| = 290 - 270 = 20
Las tres asignaturas esta dado por |A∩B∩C|
Sumamos las ecuaciones 5, 6 y 7:
|B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C| + |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| + |C| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 45 + 50 + 55
9. |A| + |B| + |C| - 2*|A∩B| - 2*|B∩C| - 2|A∩C| + 3* |A∩B∩C| = 150
Multiplicamos 8 por 2:
10. 2|A∩B| + 2|A∩C| + 2|B∩C| - 6|A∩B∩C| = 180
Sumamos 9 y 10:
|A| + |B| + |C| - 3|A∩B∩C| = 330
140 + 125 + 155 = 330 + 3|A∩B∩C|
3|A∩B∩C| = 420 - 330
3|A∩B∩C| = 90
|A∩B∩C| = 90/3
|A∩B∩C| = 30