Question

a) Un capital de $25.000.000 se invierte en una entidad financiera durante tres años, que

paga un interés trimestral del 6 %.

• Exprese el valor futuro y de este capital en función del tiempo x expresado en

trimestres.

• Halle la variación promedio de y con respecto a x durante el primer año y

durante el segundo año. Compare estos resultados y explique su diferencia.

Answer 1

El valor futuro del capital 'y' en función del tiempo en trimestres 'x' es $y=25.000.000(1+0,06)^x$. Durante el primer año, el valor crece a un promedio de $1.640.481 por trimestre mientras que en el segundo año lo hace a un promedio de $2.071.069 por trimestre.

Explicación:

El valor futuro del capital 'y' en función del tiempo en periodos considerados 'x' (en este caso trimestres) es:

$y=C_o(1+\frac{i[\%]}{100})^x$

Con esta expresión podemos hallar la variación promedio del valor durante el primer año, sabiendo que la tasa de interés 'i' es del 6% y que un año son 4 cuatrimestres:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y(4)-y(0)}{4-0}\\\\\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{C_o(1+\frac{6}{100})^4-C_o(1+\frac{6}{100})^0}{4}\\\\\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{C_o.1,262-C_o}{4}\\\\\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{25000000.(1,262-1)}{4}\\\\\frac{\Delta y}{\Delta x}=1640481\frac{\ }{trim}$

De la misma forma procedemos para hallar la variación promedio durante el segundo año:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y(8)-y(4)}{8-4}\\\\\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{C_o(1+\frac{6}{100})^8-C_o(1+\frac{6}{100})^4}{4}\\\\\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{C_o.1,594-C_o.1,262}{4}\\\\\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{25000000.(1,594-1,262)}{4}\\\\\frac{\Delta y}{\Delta x}=2071069\frac{\ }{trim}$

Esta última es una variación promedio por trimestre mayor que la del primer año, porque la evolución del valor sigue una función exponencial, que se caracteriza porque tanto la función como su variación con respecto a la variable independiente crecen con la misma ley de variación.