Encuentre el menor entero positivo que tiene divisores que terminan en todos los dígitos, es decir, el menor entero positivo que tiene al menos un divisor que termina en 0, al menos un divisor que termina en 1, . . ., al menos un divisor que termina en 9.
Aclaración: Decimos que un número termina en el dígito d si el dígito de sus unidades es d.
Respuestas
El menor número que tiene divisores que terminan en todos los dígitos es 270.
Explicación paso a paso:
Todo número entero positivo tiene al 1 como divisor, por lo que ya tenemos al menos un divisor terminado en 1. Si es múltiplo de 10 tendrá al menos un divisor terminado en 0, tendrá al 2 como divisor, ya que será par, y será también múltiplo de 5, por lo que tendrá un divisor terminado en 5.
A partir de aquí tendremos que buscar entre los múltiplos de 10 al número que tenga al menos un divisor terminado en cada dígito. Aquí es por tanteo planteando los divisores de cada número:
10={1,2,5,10}
20={1,2,4,5,10,20}
30={1,2,3,5,6,10,15,30}
El 30 es par, el doble de todo número par es múltiplo de 4, por lo que podemos pasar directamente al 2.30=60:
60={1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
El 60 es múltiplo de 3 y es par, si lo multiplicamos por 3, el resultado será múltiplo de 9, y también de 18:
180={1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,30,36,45,60,90,180}
Solo nos falta un múltiplo terminado en 7, podríamos multiplicarlo por 7 para agregar al 7 como divisor, o, como es múltiplo de 9 multiplicarlo por 3 para que el resultado sea múltiplo de 27, como tiene que ser el menor número posible, lo multiplicamos por 3:
180.3=540
540={1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,20,27,30,36,45,54,60,90,108,135,180, 270,540}
Observamos que el número 270 es divisible por 54, ya no será múltiplo de 4, pero conserva al 54 (que termina en 4) como divisor:
270={1,2,3,5,6,9,10,15,18,27,30,45,54,90,135,270}.
Y sigue teniendo divisores que terminan en todos los dígitos: 10, 1, 2, 3, 54, 5, 6, 27, 18, 9.