Question

quien por favor me ayudaría en la explicación de can, could, manage to, managed to, able to

Answer 1

Can implica posibilidad , es decir en español la traducción sería poder. Es lo que llamamos un Modal Verb y se usa con otro verbo. 
Yo puedo correr muy rápido.
I can run very fast. 

Could - es el pasado de can o se usa como una posibilidad de que poder hacer algo y es un Modal verb. En español sería - podría
Yo podría correr mas rápido si quisiera. 
I could run faster if I wanted to. 

Manage to - es la expresión de lograr algo en presente, no como un éxito sino como algo que lograste manejar o hacer. 
Me enojo fácilmente, sin embargo logro controlarme.
I get mad easily, however I manage to control myself. 

Managed to- Igual pero en pasado
Casi me caigo, pero logré mantener el balance.
I almost fell, but I managed to keep my balance.

Able to- es decir que eres capaz de hacer algo.
aunque suene raro en español te pongo la traducción literal para que veas como funciona. 
Soy capaz ( o tengo la capacidad) de pararme de cabeza. 
I am able to stand on my head.  

Answer 2

Can es poder y se usa para expresar habilidad
She can speak English. Ella puede hablar ingles

Could es podría y se usa para expresar posibilidad
She could do it if she had time. Ella podría hacerlo si tuviera tiempo
Could también es el pasado de can
Finally She could do the report last night. Finalmente ella pudo hacer el informe anoche

Be able to es "ser capaz de" o " poder"
Manage to y managed to también representan " poder" en presente y pasado