Question

Hallar la regla la sucecion de 9/4 16/6 25/8 36/10 49/12 son francciones

Answer 1

La única forma que veo de encontrar la regla o término n-ésimo de esa progresión es separando numeradores y denominadores ya que cada uno de estos términos va por libre y forma su propia progresión.

En el caso de los numeradores, la progresión es cuadrática o de 2º orden ya que la diferencia entre dos términos consecutivos no es fija (como sería en una progresión aritmética normal y que sí se cumple para los denominadores) sino que va aumentando en 2 unidades. Fíjate en ellas:

16 - 9 = 7
25 - 16 = 9
36 - 25 = 11 ... etc

En realidad estos términos son los cuadrados de los números naturales a partir del 3 ya que 3²=9 ... 4²=16 ... 5²=25 ... lo pillas?

Para resolver esta sucesión de los numeradores y encontrar el término n-ésimo hay que recurrir a cierta fórmula establecida. Copiaré algunos fragmentos de texto de otros ejercicios similares que tengo resueltos en esta web.

Primero represento la sucesión:

Términos:              1º              2º             3º            4º
Progresión inicial:  9              16            25           36 ... etc
Diferencia 1:                +7            +9             +11      ⇒ (primer orden)
Diferencia 2:                        +2            +2              ⇒ (segundo orden)

En el segundo orden es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 entre dos términos consecutivos, 7+2 = 9,... 9+2= 11,... etc...

Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general  (o enésimo) debe tener esta forma:  

$a_n=an^2+bn+c$

... expresión que puede recordarte el típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.

Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrito arriba y que he remarcado en negrita.

Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:

1er. térm. de prog. inicial = 9 ... lo llamo C
Diferencia 1 = ---------------+7 ...  lo llamo B
Diferencia 2 = ---------------+2 ...  lo llamo A

ahora, los coeficientes de la expresión  $a_n=an^2+bn+c$, hay que sustituirlos por las siguientes expresiones...
$a= \frac{A}{2}\ \ \ \ b=(B- \frac{3}{2}*A) \ \ \ \ c=(A-B+C)$

Y ahora hay que acudir a esta expresión:
$a_n= \frac{A}{2} *n^2+(B- \frac{3}{2}*A)*n+(A-B+C)$

Sustituyo los valores de A,B,C por los anotados arriba...
$a_n= \frac{2}{2} *n^2+(7- \frac{3}{2}*2)*n+(2-7+9)\ \ resolviendo... \\ \\ a_n=n^2+(7-3)*n+4 \\ \\ a_n=n^2+4n+4 \ \ finalmente\ el \ termino\ n-esimo\ es... \\ \\ a_n=n(n+4)+4$

Pero recordemos que esto era la progresión parcial formada por los numeradores.

La formada por los denominadores es mucho más simple ya que se trata de una progresión aritmética cuyo primer término  a₁=4  y la diferencia entre términos consecutivos  d=2

Acudiendo a la fórmula de su término general y sustituyendo esos valores...
$a_n=a_1+(n-1)*d \\ \\ a_n=4+(n-1)*2 \\ \\ a_n=4+2n-2 \\ \\ a_n=2n+2 \\ \\ a_n=2(n+1)$

Finalmente se colocan esos términos n-ésimos en sus respectivas posiciones de numerador y denominador y tenemos la solución:

$a_n= \frac{n(n+4)+4}{2(n+1)}$

Ahí te queda la regla pedida.
Si en alguna fórmula se observan símbolos o texto raro, actualiza la página con F5 y se verá bien.

Saludos.