un campeon clavadista salta de la plataforma con una altura h determinada por h(t)=10t-2t^2 donde t rs el tiempo transcurrido medido en segundos. la altura se mide desde el nivel del agua en metros. a)encontrar cual es la altura maxima alcanzada. b)¿cuanto tardara el clavadista en tocar el agua?. c)¿cuanto tiempo duro el acenso?
Respuestas
De la función altura de un clavadista se obtiene:
a) La altura máxima que alcanza es: 12,5 m
b) El tiempo que tardara el clavadista en tocar el agua es: 5 s
c) El tiempo que dura él acensó del clavadista es: 2,5 s
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? Y ¿Cuánto tiempo duro él acensó?
La ecuación que describe la altura es:
h(t) = 10t - 2t²
Aplicar primera derivada a h;
h'(t) = d/dt (10t - 2t²)
h'(t) = 10 - 4t
Aplicar segunda derivada;
h''(t) = d/dt (10 - 4t)
h''(t) = -4 ⇒ Máximo relativo
Igualar h'(t) a cero;
10 - 4t = 0
4t = 10
t = 10/4
tmax = 2,5 s
Evaluar tmax en h(t);
El tiempo de ascenso se obtiene evaluando t = 2,5 s;
h(max) = 10(2,5) - 2(2,5)²
h(max) = 12,5 m
b) ¿Cuánto tardará el clavadista en tocar el agua?
Igualar a cero h(t);
0 = 10t - 2t²
2t² - 10t = 0
Factor común t;
t(2t - 10) = 0
2t - 10 = 0
2t = 10
t = 10/2
t = 5 s
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