Question

Encuentra la altura de un edificio, si desde la parte superior se observa un auto a 30 m de su base con un ángulo de depresión de 53°

Answer 1

La altura del edificio es de 40 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura del edificio junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio -donde se encuentra el observador en su parte superior avistando un auto-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del edificio hasta el auto -ubicado en A- y el lado AC (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta dicho auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 53°

Donde se pide hallar:

La altura del edificio

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 53° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el auto y de un ángulo de depresión de 53°

• Distancia desde la base del edificio hasta el auto  = 30 metros

• Ángulo de depresión = 53°

• Debemos hallar la altura del edificio

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el auto, y conocemos un ángulo de depresión de 53° y debemos hallar la altura  del edificio - donde se ubica el observador-, el cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la altura del edificio

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =53^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ distancia \ al \ auto } } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ edificio =distancia \ al \ auto \ . \ tan(53^o) } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold { altura \ del \ edificio= 30\ m \ \ . \ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold {altura \ del \ edificio= \frac{120 }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { altura \ del \ edificio = 40 \ metros } }$

Por lo tanto la altura del edificio es de 40 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto