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Respuesta:
omenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada:
\\f(x)&=&x^3-3x+2 \\ f^\prime(x)&=&3x^2-3\\ f^{\prime\prime}(x)&=&6x
Ahora encontremos los puntos críticos x^* a través de la solución (o soluciones) de la ecuación f^\prime(x)=0, es decir 3x^2-3=0. Las soluciones de esta ecuación son x_1=1, x_2=-1 .
Finalmente se evalúa f^{\prime \prime}(x) en los puntos críticos x^* y determinar si f^{\prime \prime}(x^\ast)>0 o f^{\prime \prime}(x^\ast)<0.
Tenemos entonces que
\\f^{\prime \prime}(x_1)=6x_1=6(1)=6>0\\ f^{\prime \prime}(x_2)=6x_2=6(-1)=-6<0
Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un mínimo local en x=1 y un máximo local en x=-1. Los valores correspondientes de la función son:
\\f(1)&=&(1)^3-3(1)+2=0\\ f(-1)&=&(-1)^3-3(-1)+2=4
La siguiente Figura muestra la gráfica de la función f(x) propuesta.
Explicación paso a paso: