Question

Dos camimos rectos se cortan en un punto P Y ahi forman un angulo de 42,6 en un punto R sobre un camino esta un edificio a 368 metros de P y en un punto S, en el otro camino esta un edificio a 462 metros de P Determine la distancia recta de R a S​

Answer 1

La distancia entre el punto R y el punto S es de aproximadamente 313.96 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo PRS en donde en el vértice P se encuentra el punto en donde los dos caminos rectos se cortan. Donde el lado PR (a) equivale a uno de los caminos y la distancia desde el punto P hasta el punto R donde se halla un edificio y el lado PS (b) conforma el otro camino y la distancia desde el punto P hasta el punto S donde se ubica el otro edificio - donde ambas longitudes forman un ángulo de 42.6° en el punto P donde los dos caminos se cruzan. Y el lado RS (c) representa la distancia en línea recta entre los dos puntos R y S la cual es nuestra incógnita

Donde se pide determinar la distancia entre el punto R y el punto S

Hallamos la distancia "c" entre los puntos R y S

La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado RS (c)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la distancia entre el punto R y el punto S

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(P ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 368 \ m)^{2} + (462 \ m)^{2} - 2 \ . \ 368 \ m \ . \ 462 \ m \ . \ cos(42.6^o) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =135424 \ m^{2} + 213444 \ m^{2} - 340032 \ m^{2} \ . \ cos(42.6^o) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =348868 \ m^{2} - 340032\ m^{2} \ . \ 0.73609708712 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 348868\ m^{2} -250296.56 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =98571.44 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{98571.44 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 98571.44 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c \approx 313.96088 \ metros }}$    

$\large\boxed {\bold { c \approx 313.96\ metros}}$

La distancia entre el punto R y el punto S es de aproximadamente 313.96 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados