Question

Ayuda con este taller de Trigonometría. 54 puntos.

Answer 1

Hola, voy a resolver solo un punto de cada tema ya que son muchos, el resto puedes intentar hacerlos tú con base en lo que te explique acá.

1. Para hallar la altura del triángulo simplemente vamos a usar el teorema de Pitágoras, pero este teorema solo lo podemos usar en triángulos rectángulos, y no tenemos un triángulo rectángulo sino equilátero, para convertirlo a rectángulo simplemente lo cortamos a la mitad, cuando lo cortamos a la mitad nos van a quedar 2 triángulos rectángulos exactamente iguales lo único que cambia es que uno de los lados va a tener la mitad de la longitud que tenía, revisa la imagen que te adjunto:

El teorema de Pitágoras es el siguiente:

$Hip^2 = Cat1^2 + Cat2^2$

Tenemos la hipotenusa que vale 2.5 metros, y tenemos uno de los catetos que vale 1.25m, necesitamos la altura h que es el otro cateto, entonces:

Hip = 2.5m
Cat1 = 1.25m
Cat2 = h (altura)

Voy a reemplazar lo que tenemos en la fórmula, omitiré las unidades de medida para no confundir.

$(2.5)^2 = h^2 + (1.25)^2\\6.25 = h^2+1,5625\\6.25-1.5625 = h^2\\4,6875 = h^2\\ h = \sqrt{4,6875}$

Listo, tenemos que la altura es de $\sqrt{4,6875}$ metros, ahora vamos a hallar el área del triángulo equilátero, simplemente hay que multiplicar su altura por su base y dividir entre 2, la altura ya la conocemos, y la base puede ser cualquiera de los lados es decir 2.5 metros:

$Area = \frac{\sqrt{4,6875} *2.5}{2} metros$

Es mejor dejar el área expresada, o si quieres ponlo en la calculadora pero eso es un número largo.

3. b) Antes de empezar a resolver, te voy a recordar las principales funciones trigonométricas (recuerda que las funciones trigonométricas solo se pueden aplicar a triángulos rectángulos):

$Sen \beta = \frac{CatetoOpuesto}{Hipotenusa}$ , $Cos \beta = \frac{CatetoAdyacente}{Hipotenusa}$ , $Tan \beta = \frac{CatetoOpuesto}{CatetoAdyacente} = \frac{Sen \beta }{Cos \beta }$

Nos dicen que $Sen \beta = \frac{4}{5}$, en pocas palabras nos están diciendo que el cateto opuesto del triángulo rectángulo del que nos hablan mide 4 unidades y que su hipotenusa mide 5 unidades, ahora nos piden $Cos \beta$, según lo que te recordé arriba para tener el coseno de un ángulo necesitamos el cateto adyacente y la hipotenusa, ya tenemos la hipotenusa, necesitamos el cateto opuesto, para eso usaremos el bendito teorema de Pitágoras:

$Hip^2 = Cat1^2 + Cat2^2\\ 5^2 = Cat1^2 + 4^2\\ 25 - 16 = Cat1^2 \\9 = Cat1^2 \\ Cat1 = \sqrt{9} = 3$

Listo ya tenemos la hipotenusa y el cateto adyacente, ahora reemplacemos estos datos en la función Coseno:

$Cos \beta = \frac{3}{5}$

Ahora debemos hallar $Tan \beta$, como ya conocemos el cateto opuesto y el cateto adyacente simplemente reemplacemos:

$Tan \beta = \frac{4}{3}$

7) Nos dicen que $Sen \alpha = \frac{2}{3}$ y nos piden usar la fórmula $Sen^2 \alpha +Cos^2 \alpha = 1$, en esta fórmula ya conocemos cuánto vale $Sen \alpha$, vamos a reemplazarlo y resolvemos:

$( \frac{2}{3} )^2 +Cos^2 \alpha = 1\\ \frac{4}{9} -1 = -Cos^2 \alpha \\ \frac{4-9}{9} = -Cos^2 \alpha \\ - \frac{5}{9} = -Cos^2 \alpha \\ \frac{5}{9} = Cos^2 \alpha \\ \sqrt{\frac{5}{9}} = \sqrt{Cos^2 \alpha } \\ \frac{ \sqrt{5} }{3} =Cos \alpha$

Ya conocemos $Sen \alpha$ y $Cos \alpha$ ahora para hallar $Tan \alpha$ simplemente usamos la siguiente identidad:

$Tan \alpha = \frac{Sen \alpha }{Cos \alpha }$

Reemplacemos los datos que conocemos:

$Tan \alpha = \frac{ \frac{2}{3} }{ \frac{ \sqrt{5} }{3} }$

Resolvemos usando la ley de extremos e internos o más conocida como la ley de la "oreja":

$Tan \alpha = \frac{2*3}{ \sqrt{5} * 3 } \\ Tan \alpha = \frac{6}{3 \sqrt{5} }$

Creo que con estas bases te será fácil resolver el resto, fue un placer, saludos.

Answer 2

Respuesta:

hvm,cj,

Explicación: