Question

Pregunta 3.- Calcule:
a) La densidad media del planeta Mercurio, sabiendo que posee un radio de 2440 km y una intensidad de campo gravitatorio en su superficie de 3,7 N kg-1 .
b) La energía necesaria para enviar una nave espacial de 5000 kg de masa desde la superficie del planeta a una órbita en la que el valor de la intensidad de campo gravitatorio sea la cuarta parte de su valor en la superficie. Dato: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67×10-11 N m2 kg-2. PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012-2013 FISICA.

Answer 1

Respuesta al ejercicio 3 de la prueba de selectividad de Madrid convocatoria JUN 2012 - 2013 de Física:

a) Calculamos la densidad del planeta mercurio:

d = $\frac{m}{V} = \frac{M}{ \frac{4 \pi R^{3} }{3} }$

En donde M representa la masa del planeta Mercurio y R es su radio, suponiendo que es esférico.

Podemos conocer cual es la intensidad del campo gravitatorio deduciendolo en base de que el peso de un cuerpo es la fuerza con la que atrae el planeta al cuerpo:

P = $F_{G}$ 

mg = G. $\frac{Mm}{R^{2} }$

g = G. $\frac{M}{ R^{2} }$

Finalmente:

$\frac{g}{G. \frac{4}{3} \pi R } = \frac{G. \frac{M}{ R^{2} } }{G. \frac{4}{3}. \pi R }$

$\frac{3g}{4 \pi RG} = \frac{M}{ \frac{4}{3} \pi R^{3} } = d$

d = $\frac{3.3,7}{4 \pi .2440x10^{3}.6,67 x10^{-11} } =$ 5427 Kg m⁻³

b) Para calcular cuanta es la energía necesaria para enviar una nave espacial de 5000 kg de masa desde la superficie del planeta a una órbita en la que el valor de la intensidad de campo gravitatorio sea la cuarta parte de su valor en la superficie, tomamos en consideración que el campo gravitatorio es conservatorio, por lo que para colocar una nave en órbita está será la diferencia de la energía mecánica de la nave en la órbita y en la superficie del planeta Mercurio:

$E_{M}(orbita)$ = $E_{p} + E_{c} = - G. \frac{Mm}{ R_{1} } + \frac{1}{2}.m v_{1}^{2}$

Donde R1 es el radio de la órbita y v1 representa la velocidad de la nave. Luego, para calcular R1 se debe tomar en consideración que la intensidad del campo gravitatorio en la órbita es la cuarta parte de la superficie:

$g_{1} = \frac{1}{4}g$

G$\frac{M}{ R_{1} ^{2} } = \frac{1}{4} .G. \frac{M}{ R^{2} }$

Simplificamos R1 = 2R

La velocidad de la nave en la órbita se calcula tomando en consideración que la nave describe un movimiento circular uniforme, por lo que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella son iguales a la fuerza centripeda:

 $F_{G} = Fc$

G.$\frac{Mm}{ R_{1} ^{2} } = m\frac{ v_{1} ^{2} }{ R_{1} }$

$v_{1} ^{2} = G. \frac{M}{ R_{1} }$

Sustituimos en la ecuación de la energía:

$E_{M}(orbita) = Ep + Ec = -G.\frac{Mm}{ R_{1} } + \frac{1}{2} mG \frac{M}{ R_{1} }$

La energía mecánica en la superficie es calculada de la siguiente forma:

$E_{M}(superficie)$ = Ep = -G.$\frac{Mm}{R}$

Por lo tanto la energía necesaria para que la nave entre en órbita es: 

ΔE = $- \frac{1}{2} G. \frac{Mm}{ R_{1} }$ = $- \frac{1}{2} G. \frac{Mm}{2R }$ +$G. \frac{Mm}{R}$ 

ΔE = $- \frac{1}{4} G. \frac{Mm}{R} + G. \frac{Mm}{R} = \frac{3}{4} G. \frac{Mm}{R}$

La masa del planeta puede escribirse en relación a la intensidad del campo gravitacional en su superficie:

g = $G. \frac{M}{ R^{2} }$

GM = gR²

ΔE = $\frac{3}{4} G. \frac{Mm}{R} = \frac{3}{4} g R^{2} \frac{m}{R} = \frac{3}{4} .$3,7.2440x10³.5000 = 3,3855x10¹⁰ J