Tres números enteros consecutivos son tales que, el doble de la suma del primero y el segundo supera en uno al triple del tercero. Determine la suma de los números.
Respuestas
Respuesta:
1. Traducción al lenguaje algebráico
Resuelva los siguientes problemas, traduciendo primero al lenguaje algebráico. Esto es, planteando
las ecuaciones correctas para cada situación.
1. El mayor de tres números enteros cosecutivos impares menos dos veces el menor, es igual a 13
menos dos veces el de en medio. ¾Quienes son los números impares?
Solución. La primera pregunta que tenemos que responder para resolver el problema es: ¾Cómo
representamos un número impar? Nosotros representaremos a un número impar como 2n − 1
(Algunos utilizan 2n + 1. Sin embargo, de ésta manera no podemos obtener el número 1). Así,
podemos tomar a los tres números impares como sigue:
2n − 1, 2n + 1 y 2n + 3
Luego, el mayor menos dos veces el menor es: 2n + 3 − 2(2n − 1) y 13 menos dos veces el de en
medio es: 13 − 2(2n + 1). Luego, la ecuación que corresponde al enunciado es la siguiente:
2n + 3 − 2(2n − 1) = 13 − 2(2n + 3) (1)
Resolvemos la ecuación:
2n + 3 − 2(2n − 1) = 13 − 2(2n + 3)
2n + 3 − 4n + 2 = 13 − 4n − 6
5 − 2n = 7 − 4n
4n − 2n = 7 − 5
2n = 2
n = 1.
Por lo tanto, los números que buscamos son: 2(1) − 1, 2(1) + 1 y 2(1) + 3, es decir, 1, 3 y 5.
2. La suma de tres números enteros consecutivos es 48. Hallar los tres números.
Solución. Representamos tres números consecutivos mediante n, n + 1 y n + 2. De ésta manera,
la ecuación correspondiente a éste enunciado es la siguiente:
n + (n + 1) + (n + 2) = 48 (2)
Resolvemos:
n + (n + 1) + (n + 2) = 48
3n + 3 = 48
3n = 45
n = 15
Por lo tanto, los números que buscamos son: 15, 15 + 1 y 16 + 1 (15, 16 y 17).
3. Demuestre que si un número divide a dos números entonces también divide a su suma.
Recordemos que un número a divide a un número b si podemos encontrar un número entero k
de manera tal que b = ak. Esto es, dicho de otra manera, que b sea múltiplo de a. Como ejemplo
tomemos a 8 y a −24. 8 divide a 24 puesto que 24 = 8(−3). Dicho esto podemos pasar a la
solución del problema.
Solución. El enunciado del problema queda como sigue: Si b = ar y c = as para algunos números
enteros r y s, respectivamente. Entonces: b + c = at para algún número entero t.
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Demostración.
[b = ar y c = as] entonces [(b + c) = ar + as]
Es decir:
b + c = a(r + s)
Por último, como r y s son números enteros, por la propiedad de cerradura, el número r + s
también es número entero. Así, el número que buscamos es t = r + s. Por lo tanto a divide a
b + c.
4. Un coleccionista de sellos tiene un sello de 3c que es 25 años más viejo que un sello de 5c. Dentro de 18 años el sello de 3c será el doble de viejo que el sello de 5c. ¾Cuántos años tiene cada sello?
Solución.Notemos que para resolver éste problema es necesario plantear dos ecuaciones. Si x es
la edad del sello de 3c y y es la edad del sello de 5c entonces las ecuaciones quedan como siguen:
x = y + 25 (3)
x + 18 = 2(y + 18) (4)
Resolvemos el sistema para obtener:
(y + 25) + 18 = 2y + 36, sustituyendo (3) en (4)
−y = 36 − 43
y = 7
Luego, el sello de 5c tiene 7 años. Y, por último, sustituyendo éste valor en la ecuación (3)
tenemos que la edad del sello de 3c es de 32 años.
5. Juan tiene 25 años y Javier tiene 15 años. ¾Hace cuantos años Juan tenía el doble de años que
Javier?
Solución. Éste problema puede ser abordado de varias maneras. Puede plantearse una ecuación en
términos de las edades de Juan y Javier. Algunos de ustedes durante la sesión hicieron una tabla
de comparación de las edades. Sin embargo, éste último procedimiento no es muy recomendable,
pues si en vez de comparar las edades de personas, estuvieramos comparando edades de edicios
de 350 y 550 años de antiguedad, hacer una tabla llevaría bastante tiempo. Recordemos que
tenemos al álgebra como herramienta. Ahora bien, si x es el número de años que nos pide el
problema. Entonces debe ser que:
2(15 − x) = 25 − x (5)
Resolvemos para obtener:
30 − 2x = 25 − x
5 − x = 0, sumando x − 25 en ambos lados.
x = 5.
Por lo tanto, hace 5 años Juan tenía el doble de años que Javier.
6. Hallar tres enteros pares consecutivos tales que tres veces el segundo es cuatro más que la suma
del primero y el tercero.
Solución. En éste caso, el primer paso es representar un número par. En la práctica decimos
que un número es par si la cifra de las unidades es un número par, cuando es múltiplo de 2
o bien, cuando es divisible por 2. Nosotros representaremos un número par cómo un número
que podemos escribir como 2n para algún número entero n. Por ejemplo, 18 es par puesto que
podemos escribirlo como 2(9). De ésta manera podemos representar cualquier número par.
Explicación:
y dame coronita