Question

un proyectil es lanzado con una velocidad inicial de 25m/seg y un angulo de 45 grados que tiempo dura el proyectil en el aire ysu alcance hotrizontal

Answer 1

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire del proyectil es de 3.54 segundos

El alcance horizontal del proyectil es de 62.50 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Hallamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (25\ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (45^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{50\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{50\ \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 25\ \ . \ \frac{\sqrt{2} }{\not 2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 25\sqrt{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =3.35553 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.54 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 3.54 segundos

Hallamos el alcance horizontal (alcance máximo)

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (25 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 45 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{625\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (90 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 90 grados es de }\bold{ 1 }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{625 \ . \ \ 1 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{625 }{ 10 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =62.50 \ metros }}$

El alcance horizontal del proyectil es de 62.50 metros

Obteniéndose con un ángulo de 45° el alcance máximo

Aunque el enunciado no lo pida

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(25 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (45^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{2} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{625\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{2} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{625\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{2}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{625\ \ . \ \frac{2}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1250}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 312.50 }{20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 15.625\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =15.63\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 15.63 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento