Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
Dadas la matrices:
A = 1 1 a a
a 1 1 a
a a 1 1
a a a 1
X =x
y
z
w
O = 0
0
0
0
se pide:
a) (1,5 puntos) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a.
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II..
Respuestas
a) Calcular el determinante de A. Determinar el rango de A según los valores de a.
Para calcular el Det(A) se deben aplicar los siguientes artificios:
|1 1 a a| |1 1 a a |
Det(A) = |a 1 1 a| -> F2 = F2 – a*F1 = |0 1-a 1-a^2 a-a^2|
|a a 1 1| F3 = F3 – a*F1 |0 0 1-a^2 1-a^2|
|a a a 1| F4 = F4 – a*F1 |0 0 a-a^2 1-a^2|
Con esto Det(A) queda:
(1-a 1-a^2 a-a^2)
Det(A) = (1)(1)^2 * (0 1-a^2 1-a^2)
(0 a-a^2 1-a^2)
Det(A) = (1 + a)*(1 – a)^3
Para los rangos se tiene que:
Si a ≠ ±1 => |A| ≠ 0 (rango A = 4)
Si a = 1 => |A| = 0 (rango A = 1)
Si a = -1 => |A| = 0 (rango A = 3)
Prueba de selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2012-2013. Matemáticas II.