Question

Un tanque con capacidad de 400 litros, se encuentra lleno de agua en la cual estan
disueltos 20 kg de azucar. Si se sabe que:
(a) Se deja salir del tanque la sustancia por media hora, a razon de 100 litros por hora. A la media hora se detiene la salida.
(b) Al cerrar la salida, se comienza a inyectar agua pura dentro del tanque a razon de 100 litros por hora hasta llenarlo.
(c) Al momento en que se llena (considere este momento como t = 0), la mezcla bien agitada comienza a salir del tanque a la misma tasa a la que entra el agua pura.
Determine el tiempo necesario para reducir la concentración de azúcar dentro del tanque a 0.002 kg/l.

Answer 1

Aproximadamente,  3.1  horas es el tiempo necesario para reducir la concentración de azúcar dentro del tanque a 0.002 kg/l.

Explicación paso a paso:

En principio necesitamos conocer el azúcar que hay en el tanque para luego plantear un modelo de mezclas con ecuaciones diferenciales de primer orden que nos permita resolver el problema planteado:

(a)  Se dejan salir 50 litros de solución (media hora a 100 l/h), por lo que planteamos una regla de tres simple para calcular la cantidad de azúcar que se pierde

Si  en  400  l de solución hay    ----------------    20  kg de azúcar

 en  50  l de solución habrán    ----------------    x  kg de azúcar

x  =  [(50)(20)]/(400)  =  2.5  kg

Quedan en el tanque  350  l  con  17.5  kg  de azúcar

(b)  Se agregan al tanque  50  l  de agua pura completando  400  l

La concentración inicial será:    17.5 / 400  =  0.04375  kg/l

(c)  Planteamos el modelo de mezclas

P(t)    es la proporción de azúcar en el agua en un momento t, en kg/l

t    es el tiempo en horas  

E    es la tasa de entrada de solución con azúcar al tanque

S    es la tasa de salida de solución con azúcar del tanque

Entonces planteamos la ecuación diferencial:

$\bold{\dfrac{dP}{dt}~=~E~-~S}\\\\E~=~(100~\dfrac{l}{h})\cdot(0~\dfrac{kg}{l})~=~0~\dfrac{kg}{h}}\\\\S~=~(100~\dfrac{l}{h})\cdot(\dfrac{P}{400}~\dfrac{kg}{l})~=~0.25P~\dfrac{kg}{h}}$

$\bold{\dfrac{dP}{dt}~=~0~-~0.25P~=~-0.25P}$

Resolviendo como una ecuación diferencial de variables separables

$\bold{\dfrac{dP}{P}~=~-0.25dt\qquad\Rightarrow\qquad\int{\dfrac{1}{P}\,dP}~=~\int{-0.25\,dt}\qquad\Rightarrow }$

$\bold{Ln(P)~=~-0.25t~+~C\qquad\Rightarrow\qquad P~=~k\cdot e^{-0.25t}}$

Este es el modelo general. Ahora veamos los datos conocidos

P  =  0.04375    en    t  = 0

$\bold{ 0.04375~=~k\cdot e^{-0.25(0)}\qquad\Rightarrow\qquad k~=~ 0.04375}$

P  =  0.02    en    t  = ?

$\bold{ 0.02~=~0.04375\cdot e^{-0.25t}\qquad\Rightarrow\qquad t~=~ (-\dfrac{1}{ 0.25})Ln(\dfrac{0.02}{ 0.04375})~\approx~3.1~h}$

Aproximadamente,  3.1  horas es el tiempo necesario para reducir la concentración de azúcar dentro del tanque a 0.002 kg/l.