Question

un balon de futbol que reposa sobre una cancha es pateado con un angulo de 45 s/ horizontal da una velocidad inicial de 25 m/s
¿cual es la Altura máxima que alcanza el balón
​

Answer 1

El balón alcanza una altura máxima de 15.63 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(25 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (45^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{2} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{625\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{2} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{625\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{2}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{625\ \ . \ \frac{2}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1250}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 312.50 }{20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 15.625\ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} =15.63\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el balón es de 15.63 metros

Aunque el enunciado no lo pida, siendo clásicas preguntas de examen:

Hallamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (25 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 45 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{625\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (90 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 90 grados es de }\bold{ 1 }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{625 \ . \ \ 1 }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{625 }{ 10 } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =62.50 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 62.50 metros

Obteniéndose con un ángulo de 45° el alcance máximo

Hallamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (25\ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (45^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{50\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{50\ \ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 25\ \ . \ \frac{\sqrt{2} }{\not 2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 25\sqrt{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =3.35553 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.54 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 3.54 segundos

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento