Question

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS

Answer 1

Hola :D

Para resolver este ejercicio recurrimos a las siguientes fórmulas:

$\boxed{\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)}\\\boxed{\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)}$

Así pues, nos dan:

$\cos(x-y)=5\cos(x+y)$

Sustituimos:

$\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)=5(\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y))\\\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)=5\cos(x)\cos(y)-5\sin(x)\sin(y)$

Pasamos los términos con cosenos al lado derecho, y los que tienen sin al izquierdo:

$\sin(x)\sin(y)\boldsymbol{+5\sin(x)\sin(y)} =5\cos(x)\cos(y)\boldsymbol{-\cos(x)\cos(y)}\\6\sin(x)\sin(y)=4\cos(x)\cos(y)$

Pasamos los cosenos a dividir al lado de los sin, y el 6 pasa a dividir del otro lado:

$\dfrac{\sin(x)\sin(y)}{\cos(x)\cos(y)} =\dfrac{4}{6}$

En el lado izquierdo al haber multiplicaciones en fracciones, se pueden separar:

$\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}*\dfrac{\sin(y)}{\cos(y)}=\dfrac{4}{6}$

Lo anterior representa a la función tangente:

$\tan(x)*\tan(y)=\dfrac{4}{6}$

A la fracción se le puede simplificar sacando mitad a ambas partes, quedando:

$\boxed{\boxed{\bf{\tan(x)*\tan(y)=\dfrac{2}{3} }}}$