Question

En contexto: "La distancia entre dos casas ubicadas en los puntos A y C, es de 400 m como se ve observa en la gráfica. Si la distancia entre la casa del punto A y un árbol ubicado en el punto B, es de 200 m, ¿cuál entre la casa del punto C y el árbol?"

(con el proceso)​

Answer 1

La distancia entre la casa ubicada en el punto C y el árbol que se encuentra en el punto B es de aproximadamente 469.39 metros

Solución

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el lado AC (c) representa la distancia entre las dos casas situadas en los vértices A y C respectivamente, el lado AB (b) equivale a la distancia desde la casa ubicada en A hasta el árbol ubicado en B, y el lado BC (a) es la distancia entre el árbol en B y la casa ubicada en C, la cual es nuestra incógnita.

Hallamos los ángulos faltantes del triángulo

Para determinar los ángulos desconocidos aplicaremos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Denotamos al ángulo de valor conocido de 25° donde se encuentra la casa en C como y

Hallamos el ángulo B (β) donde se encuentra el árbol

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\large \textsf{Reemplazamos }$

$\boxed { \bold { \frac{400 \ m}{ sen( \beta ) } = \frac{200 \ m }{ sen( 25^o ) } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta )= \frac{400 \not m \ . \ sen( 25^o ) }{200 \not m } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta )= \frac{ 400 \ . \ sen( 25^o ) }{200 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta )= \frac{ 400 \ . \ 0.4226182617406 }{200 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta )= \frac{ 169.04730469627 }{200 } }}$

$\boxed { \bold { sen(\beta )=0.8452365234813 }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa del seno }$

$\boxed { \bold {\beta =arcsen ( 0.8452365234813 ) }}$

$\boxed { \bold { \beta \approx 57.697286^o }}$

$\large\boxed { \bold { \beta \approx 57.70^o }}$

Hallamos el ángulo A (α) donde se ubica la casa A

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o =25^o+57.70^o + \alpha } }$

$\boxed {\bold { \alpha = 180^o - 25^o- 50.70^o } }$

$\large\boxed {\bold { \alpha =97.30^o } }$

Calculamos la magnitud del lado faltante BC = lado a  

Para hallar la dimensión del tercer lado vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Hallamos la longitud del tercer lado que es la distancia entre el árbol en B y la casa ubicada en C

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para emplear el teorema sabiendo que son metros }$

$\boxed {\bold { a^{2} = 400^{2} + 200^{2} - 2 \ . \ 400 \ . \ 200 \ . \ cos(97.30^o) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 160000 + 40000 -160000 \ . \ cos(97.30^o) }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 200000 - 160000\ . \ -0.127064608601 }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 200000 +20330.34 }}$

$\boxed {\bold { a^{2} = 220330.34 }}$

$\boxed {\bold { \sqrt{ a^{2} } =\sqrt{220330.34} }}$

$\boxed {\bold { a =\sqrt{220330.34} }}$

$\boxed {\bold { a \approx 469.393587 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { a \approx 469.39 \ m }}$

La distancia entre la casa ubicada en el punto C y el árbol que se encuentra en el punto B es de aproximadamente 469.39 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión de las relaciones entre los lados y los ángulos planteadas