Question

Ejercicio 3 . Calificación máxima: 2 puntos.
a) (1 punto) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección (2, 1, 1) y que pasa por el punto P(4, 6, 2), con la superficie esférica de centro C(1, 2, −1) y radio √ 26.
b) (1 punto) Hallar la distancia del punto Q(−2, 1, 0) a la recta r ≡ x − 1 2 = y + 2 = z − 3 2 . PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2012-2013 MATEMATICA II.
Por favor

Answer 1

Esta es la respuesta del ejercicio 3 de la prueba de selectividad de la comunidad de Madrid, convocatoria Jun 2012 - 2013 de Matemática II:

a) Nos piden hallar cuales son los puntos de corte de la recta con dirección (2,1,1) que pasa por P(4,6,2) con la superficie esférica de centro C(1,2,-1) y radio $\sqrt{26}$

s:    $u_{s} = (2,1,1)$            Ps(4,6,2)

s:    x = 4 + 2λ         y = 6 + λ          z = 2 + λ

Para la superficie esférica:

(x-1)² + (y-2)² + (z+1)² = 26

Sustituimos s dentro de la superficie esférica:

(4 + 2λ -1)² + (6 + λ -2)² + (2 + λ+1) ² = 26

⇒ λ = $\frac{-1}{3}$  , λ = -4 

⇒ P'$(\frac{10}{3}, \frac{17}{3}, \frac{5}{3} )$
    P''(-4,2,-2)

b) Hallamos la distancia del punto Q(-2,1,0) a la recta r:

r ≡       $\frac{x-1}{2}  = y +2 =  \frac{z-3}{2}$         

r:     $u_{r}$ = (2,1,2)    Pr(1,-2,3)
 →
PrQ  = (-3,3,-3)
 →
|PrQ| = $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-3&3&-3\\2&1&2\end{array}\right] = |9(1,0,-1)| = 9 \sqrt{2} = 12,7279$

d(Q,r) = $\frac{|PrQ|}{ u_{r} } ) = \frac{9 \sqrt{2} }{3} = 3 \sqrt{2} u = 4,2426 u$